Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 73 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
73
Dung lượng
2,29 MB
Nội dung
VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi • • • Tỉnh Hà Tĩnh Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hồng Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực I.PHẦN GHI KẾT QUẢ: Câu Câu Cho x = + Tính giá trị biểu thức P = x − 18 x − 10 x − 13 x + x + 5− x Cho biểu thức C = + − 1− x x +1 1− x giá trị biểu thức C số nguyên 1− x Tìm tất giá trị nguyên x để : x − Câu 1 + + + … 29 + 4 4 Tính giá trị biểu thức A = + + + ⋯ 30 + Câu Tìm số tự nhiên n để B = n + 4n + 2013 số phương Câu Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng y = ( m + ) x + m − với m tham số Khi OM đạt giá trị lớn giá trị m bao nhiêu? Câu Cho số thực dương a , b thỏa mãn a − a 2b + ab − 6b3 = Tính giá trị biều thức P= Câu 4a − b 4b − a Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Biết AH = , BC = 4BH Tính diện tích tam giác ABC Câu Cho tam giác ABC vng A có 4AB = 3AC, BC = 25 Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn hình chữ nhật DEFG Câu Cho a , b không âm thỏa mãn 2a + b ≤ 4, 2a + 3b ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = a − 2a − b Câu 10 Giải phương trình 3x + 33 + x = 2x + II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi) xy 2 x + y + x + y = Câu 11 Giải hệ phương trình x + y + x2 − x − = ( ) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Câu 12 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn ( M khác A, B ), tiếp tuyến A M nửa đường tròn ( O ) cắt K Gọi E giao điềm AM OK Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BM N a) Tính BM AN theo R b) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điềm BK MH Chứng minh EF song song với AB BH.OK = OE ⋅ AB Câu 13 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y3 + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy + yz + zx + x + y3 + z3 P= ( xy + yz + zx ) + -Hết - Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI • • • Câu Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hồng Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực Cho x = + Tính giá trị biểu thức P = x − 18 x − 10 x − 13 x + x + Lời giải Ta có x = + ⇔ (x − 2) = ⇔ x − 4x − = , P = 5x − 20x − 5x + 2x − 8x − 2x + 3x − 12x − 3x + x − 4x − + 10x + ( ) P = 5x x − 4x − + 2x x − 4x − + x x − 4x − + x − 4x − + 10 + + ( ) ( ) ( ) ( ) P = 25 + 10 Câu 5− x Cho biểu thức C = + − x +1 1− x 1− x giá trị biểu thức C số nguyên 1− x Tìm tất giá trị nguyên x để : x −1 Lời giải ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ Ta có C = 1− x Để C ∈ Z − x ∈ U ( ) = {−2; −1;1; 2} ⇔ x ∈ {1;0} Đối chiếu ĐKXĐ ta có x = Câu 1 + + + … 29 + 4 4 Tính giá trị biểu thức A = + + + ⋯ 30 + 4 4 Lời giải Với n ∈ ℕ* , ta có n + 1 1 1 = n4 + n2 + − n2 = n2 + − n2 = n2 − n + n2 + n + 4 2 2 thay n = 1, 3, 5, … , 29 Ta có 1 1 1 − + 1 + + − + + + … 29 − 29 + 29 + 29 + 2 2 A= 1 1 − + + + − + + + … 30 − 30 + 30 + 30 + 2 2 Ta thấy 12 + + 1 1 1 = 22 − + ; 22 + + = 32 − + , …, 292 + 29 + = 302 − 30 + 2 2 2 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP Do A = Câu TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 1861 Tìm số tự nhiên n để B = n + 4n + 2013 số phương Lời giải Đặt n + 4n + 2013 = a Với a ∈ N ta có a − (n + 2) = 2009 Vì a + ( n + ) > a − ( n + ) ta có trường hợp: a + ( n + ) = 2009 TH1 ⇔ ( n + ) = 2008 n = 1002 a − ( n + ) = a + ( n + ) = 287 TH2 ⇔ ( n + ) = 280 n = 138 a − ( n + ) = a + ( n + ) = 49 TH3 ⇔ ( n + 2) = n = a − ( n + ) = 41 Vậy n ∈ {2;138;1002} giá trị cần tìm Câu Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng y = ( m + ) x + m − với m tham số Khi OM đạt giá trị lớn giá trị m bao nhiêu? Lời giải Xét m = −2 y = −7 OM = Xét m ≠ −2 Gọi A, B giao điểm đường thẳng y = ( m + ) x + m − với trục Ox, Oy 5−m Tọa độ A ;0 , B ( 0; m − ) m+2 Suy OA = Ta có 5−m ;OB = m − m+2 1 OA ⋅ OB2 m − 10 m + 25 −(7 m + 15) 2 = + OM = = = + 50 ≤ 50 OM OA OB2 OA + OB2 m2 + m + ( m + 2)2 + Vậy OM có giá trị lớn Câu 50 m = − 15 Cho số thực dương a , b thỏa mãn a − a 2b + ab − 6b = Tính giá trị biều thức P= 4a − b 4b − a Lời giải Ta có a − a b + ab − b = ⇔ a − 2a b + a b − 2ab + 3ab − b = b 11b Vì a − ab + 3b = a − + = a = b = loại) 2 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP Vậy a = b P = Câu TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 −63 12 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Biết AH = , BC = 4BH Tính diện tích tam giác ABC Lời giải A x 3x B C H Đặt BH = x suy CH = 3x Ta có BH.CH = AH 3x = ⇔x= 1 BC = = S ABC = AH BC = 2 Câu Cho tam giác ABC vuông A có 4AB = 3AC, BC = 25 Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn hình chữ nhật DEFG Lời giải A x E D B G H F C Kẻ đường cao AH Ta có 4AB = 3AC = AB AC AB2 AC = = 16 AB2 + AC BC2 252 = = = 25 AB = 15; AC = 20 + 16 25 25 Lại có AH = AB ⋅ AC = 12 Đặt AD = x BD = 15 − x BC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP Do TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 (15 − x ) DE AD x 5x DG BD 15 − x = = DE = ; = = DG = BC AB 15 AH AB 15 1 Suy S DEG = DE ⋅ DG = ⋅ x (15 − x ) ≤ [x + 15 − x]2 = 75 Vậy diện tích hình chữ nhật 3 DEFG đạt giá trị lớn 75 Câu Cho a , b không âm thỏa mãn 2a + b ≤ 4, 2a + 3b ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = a − 2a − b Lời giải Ta có 2a + b ≤ ⇔ ≥ 2a + b ≥ 2a ⇔ ≥ a ⇔ 2a ≥ a ⇔ a ≤ 2a Do P = a − 2a − b ≤ 2a − 2a − b ≤ Vậy GTLN P ( a; b ) ∈ {( 0;0 ) , ( 2;0 )} Mặt khác 2a + 3b ≤ ⇔ −b ≥ 2a − 2a − 22 22 Suy P = a − 2a − b ≥ a − 2a + = a− − ≥− 3 9 2 Vậy GTNN P − 22 14 ( a; b ) = ; 3 3x + 33 + x = 2x + Câu 10 Giải phương trình Lời giải ĐKXĐ: x ≥ Ta có ⇔ 3x + 33 − ( x + ) = ( x + ) − x x − 10 x + x + 33 + x + = x − 5x + ⇔ x+2+3 x ( x − 1)( x − ) 2 x + 33 + x + = =0 x+2+3 x x = Xét ( x − 1)( x − ) = ⇔ x = Xét 3x + 33 + x + − =0 x+2+3 x Với x = nghiệm Với x ≠ ta có kết hợp với ( x − 11) x + 33 + x = ⇔ x + 33 + x = x − 33 3x + 33 + x = 2x + x − x − 40 = Vậy tập nghiệm phương trình S = {1; 4;64} II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 xy 2 x + y + x + y = Câu 11 Giải hệ phương trình x + y + x2 − x − = ( ) Lời giải ĐKXĐ: x + y ≠ 0; 2x + y + > 0; x − x − > ( * ) Từ phương trình x + y + 2xy = x+y x ( x + y ) + y ( x + y ) + xy − x − y = ⇔ x ( x + y ) − x + y ( x + y ) − y + x + xy + y − x − y = ⇔ x ( x + y − 1) + y ( x + y − 1) + ( x + y )( x + y − 1) = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y + x + y ) = Xét x + y − = , thay vào phương trình x + y + x − x − = ( ) x + x2 − x − = ( ) Với điều kiện x − x − ≥ , ta có ( x + ) ( x − x − 1) = ⇔ ( x + ) ( x − x − x + x + 1) − = ⇔ ( x + ) ( x − x − x + x + 1) − = ⇔ x5 − x3 + x − = ⇔ ( x − ) ( x + x − x − x + 1) = ⇔ ( x − ) ( x + x − 1) = Với x − = ⇔ x = y = −1 (TMĐK) Với x + x − = ⇔ x1 = −1 − 3+ −1 + y1 = ; x2 = x − x − < (loại) 2 Xét x + y + x + y = , ta có x + y + x + y = ( x − x − 1) + y + ( x + y + 1) > theo ĐKXĐ thay vào ĐKXĐ * () −1 − + Hệ phương trình có tập nghiệm ( x; y ) ∈ ( 2; −1) , ; 2 Câu 12 Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB = R Lấy điểm M nửa đường trịn ( M khác A, B ), tiếp tuyến A M nửa đường tròn ( O ) cắt K Gọi E giao điểm AM OK Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM N a) Tính BM AN theo R Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 b) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh EF song song với AB BH OK = OE AB Lời giải a) Ta có BMA = BON = 90° ∆BMA ∽ ∆BNO BM BA BM BN = BA.BO = R = BO BN Vì NO ⊥ AB nên ∆ANB cân N Suy BN = AN , suy BM AN = R b) Ta có KM = KA, OM = OA nên KO trung trực AM , suy KO ⊥ AM EA = EM (1) Gọi P giao điểm đường thẳng BM đường thẳng AK Ta có ∆AMP vng M , có KA = KM nên KA = KM = KP Áp dụng hệ định lí Thales, ta có FM BF FH = = FM = FH (2) KP BK KA Từ (1), (2) suy EF đường trung bình ∆AHM nên EF //AB Mặt khác OK đường trung bình ∆ABP nên OK //BP Ta có ABM = AOK AMB = OAK = 90° ∆BMA ∽ ∆OAK Tương tự ∆BHM ∽ ∆OEA Suy BM BA = OA OK BM BH = OA OE BA BH = BH OK = OE AB OA OE Câu 13 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y3 + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= xy + yz + zx + x + y3 + z ( xy + yz + zx ) + Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có = x + + + y3 + + + z + + ≥ ( x + y + z ) ⇔ xy + yz + zx ≤ Lại có ( xy + yz + zx ) ≤ (x + y + z)2 ≤ ⇔ xy + yz + zx ≤ Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP Do 5P = ( xy + yz + zx ) + 15 ( xy + yz + zx ) + Vậy giá trị nhỏ P TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 = 1+ 14 14 15 ≥ 1+ = P≥ ( xy + yz + zx ) + 5.3 + 8 Đạt x = y = z = Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi • • • Câu Tỉnh Khánh Hịa Giáo viên góp đề: Nguyễn Bá Vinh + 0384 93 77 30 Giáo viên góp đề: Đặng Mai Quốc Khánh + 0905712246 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức ( A= ) −1 10 + 6+2 − xy + 1 Cho x, y số nguyên thỏa mãn dẳng thức x + y + = Chứng minh x + y 2 xy +1 số phương Câu (4,0 điểm) Cho đa thức f ( x) khác với hệ số nguyên thỏa mãn f (3) f (4) = f (7) Chứng minh đa thức f ( x) −12 khơng có nghiệm ngun Tìm số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Câu (4,0 điểm) Giải phương trình 2x + − 2 − x = 6x − x2 + Cho a , b hai số thực lớn thỏa mãn điều kiện a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = Câu a4 (b −1) + b4 (a −1) (6,0 điểm) Cho tam giác ABC , I điểm nằm tam giác Qua I vẽ đường thẳng DE song song với AB ( D ∈ AB, E ∈ BC ) đường thẳng IM song song với BC ( M ∈ AC ) Tính giá trị biểu thức ID BE CM + + AB BC CA Cho hình vng ACD có tâm O Điểm E thay đổi cạnh BC ( E khác B C ) Gọi F giao điểm tia AE đường thẳng CD , gọi H giao điểm OE BF a) Chứng minh 1 không đổi + AE AF b) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết số cịn lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh -Hết - Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 10 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Lời giải N I A D E K L B F P C M a) BM DE = a Xét tam giác AEN có: EAN = 900 , AD đường cao Áp dụng hệ thức tam giác vuông cho tam giác AEN ta có: DE.DN = AD DE.DN = a (1) Xét hai tam giác ADN MBA ta có: ADN = ABM = 900 AD = AB = a DAN = BAM (vì phụ với góc DAE ) Suy ra: ∆ADN = ∆MBA ( g.c.g ) DN = BM ( 2) Từ (1), (2) suy ra: BM DE = a (đpcm) b) Xét tam giác AMN ta có: AM = AN (theo câu a)), AI đường trung tuyến Suy ra: AI đường cao tam giác AMN hay AI ⊥ MN Xét tam giác AMN ta có: MAN = 900 (giả thiết), AI đường trung tuyến Suy ra: MN AI = ( 3) Xét tam giác CMN ta có: MCN = 900 (giả thiết), CI đường trung tuyến Suy ra: MN CI = ( 4) Từ (3), (4) suy ra: AI = CI hay I nằm đường trung trực đoạn thẳng AC (5) Địa truy cập click vào https://zalo.me/g/sidqta089 Trang 59 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Mặt khác, BD đường trung trực đoạn thẳng AC (vì ABCD hình vuông) (6) Từ (5), (6) suy ra: I nằm đường thẳng BD cố định (đpcm) c) AP ≤ EP Kẻ EF ⊥ AP ( F ∈ AB ) , EK ⊥ AB ( K ∈ AB ) (7) Xét tứ giác BCEK có B = C = K = 900 nên BCEK hình chữ nhật Suy ra: EK = BC = a ( 8) Gọi L giao điểm AP với EK Ta có: BAP = KEF (vì phụ với góc AKL (9) Từ (7), (8), (9) suy ra: ∆ABP = ∆EKF AP = EF (10 ) Vì AP vừa đường cao vừa đường phân giác tam giác AEF nên AP đường trung trực đoạn thẳng EF Suy ra: PE = PF (11) Từ (10), (11) ta có: AP = EF ≤ PE + PF = PE + PE = PE ⇔ AP ≤ PE (đpcm) Câu (1,0 điểm) Cho P = n − n + 2n3 + 2n (với n ∈ ℕ, n > ) Chứng minh rằng: P số phương Lời giải Ta có: P = n − n + 2n + 2n = n (n + 1) (n - 2n + 2) 2 Với n ∈ ℕ, n > n − 2n + = (n − 1)2 + > (n − 1) n − 2n + = n − 2(n − 1) < n 2 Do đó: ( n − 1) < n − 2n + < n n − 2n + khơng số phương Vậy P = n − n + 2n3 + 2n không số phương Địa truy cập click vào https://zalo.me/g/sidqta089 Trang 60 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi • • • Câu Tỉnh Thanh Hóa Giáo viên góp đề: Đỗ Văn Hồn + 0979760783 Giáo viên góp đề: Phạm Văn Vượng +976978545 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) x x + 14 ⋅ 1 + với x ≥ + x +3 x +2 x+3 x +2 Rút gọn biều thức P tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị số tự nhiên Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a + = b ; b + = c ; c + = a Cho biểu thức P = ( ) Tính giá trị biểu thức B = a + b2 + c + a 2b2c − a 2b2 + b2 c + c a + 2022 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình x3 + 13 x − 14 x = − 15 x + Câu x + xy + 49 = Giải hệ phương trình x − xy + y = y − 17 x (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên ( m, p, q ) thỏa mãn: 2m ⋅ p + = q m > 0; p, q hai số nguyên tố Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a khác b ab ( a + b ) chia hết cho a + ab + b Chứng minh a − b > ab Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Đường trịn tâm I đường kính BC cắt cạnh AB AC M N Các tia BN CM cắt H Gọi K giao điềm IH với MN Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt đường thẳng CM BN E Q Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC BQI = ECI KN HN = Chứng minh IQ.IE = IC KM HM Gọi D la giao điểm AH với BC Chứng minh 1 + + ≤ AD ⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 3( R − OH ) 2 Câu (2,0 điểm) Cho ba số a , b, c ≥ thỏa mãn 16 abc + ( ab + bc + ca ) = 81 + 24 ( a + b + c ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a ( a2 −1 + a + ) b( b2 − + b + ) c( c2 −1 + c ) -Hết - Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 61 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 LỜI GIẢI • • • Câu Giáo viên góp đề: Đỗ Văn Hồn + 0979760783 Giáo viên góp đề: Phạm Văn Vượng +976978545 Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) x x + 14 ⋅ 1 + với x ≥ + x +3 x +2 x+3 x +2 Rút gọn biều thức P tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị số tự nhiên Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a + = b ; b + = c ; c + = a Cho biểu thức P = ( ) Tính giá trị biểu thức B = a + b2 + c + a 2b2c − a 2b2 + b2 c + c a + 2022 Lời giải x x + 14 ⋅ 1 + với x ≥ + x +3 x +2 x+3 x +2 Rút gọn biều thức P tìm giá trị x để biểu thức P có giá trị số tự nhiên Điều kiện x ≥ Ta có: Cho biểu thức P = P= = x ⋅ 1 + x +3 x + 14 = + x +2 x+3 x +2 )( ( x + )( x + 1) ( x + 2)( x + 11 x + 14 Vậy P = = ( x +2 x +7 ) x +1 ( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) ( x )=2 x + 14 x +2 )( ) x +1 x +7 x +1 x +7 v ới x ≥ x +1 ( ) x +1 + 5 , x ≥ nên < ≤ suy < P ≤ x +1 x +1 x +1 5 Do P ∈ N nên P ∈ {3; 4;5; 6;7} ⇔ ∈ {1; 2;3; 4;5} ⇔ x + ∈ 5; ; ; ;1 x +1 Ta có P = ⇔ = 2+ x ∈ 4; ; ; ; ⇔ x ∈ 16; ; ; ;0 16 Kết hợp với điều kiện ta thấy x ∈ 16; ; ; ; giá trị cần tìm 16 Vậy để P có giá trị số tự nhiên x ∈ 16; ; ; ; 16 Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời a + = b ; b + = c ; c + = a ( ) Tính giá trị biểu thức B = a + b2 + c + a 2b2c − a 2b2 + b2 c + c a + 2022 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 62 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 a + = b − = ( b − 1)( b + 1) Từ giả thiết ta suy ra: b + = c − = ( c − 1)( c + 1) 2 c + = a − = ( a − 1)( a + 1) Nhân vế với vế đằng thức với ta được: a + b2 + c2 + = b2 − c2 − a − b2 + c2 + a + ( )( ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ) Do a + b2 + c + > nên b2 − c − a − = Khai triền ta b2c a − a 2b2 − b2c − c a + a + b2 + c − = ⇔ a 2b2c + a + b2 + c − a 2b2 + b2c + c a = ( Câu ) Vậy B = + 2022 = 2024 (4,0 điểm) Giải phương trình x3 + 13 x − 14 x = − 15 x + x + xy + 49 = Giải hệ phương trình 2 x − xy + y = y − 17 x Lời giải Giải phương trình: x3 + 13 x − 14 x = − 15 x + ĐKXĐ: x ≥ − Pt cho x + 13 x − 14 x − + 15 x + = ⇔ x + 13 x − 12 x − ( x + 3) + 15 x + = ⇔ ( x − x ) ( x + ) − ( x + 3) − 15 x + = ⇔ ( x − 3x ) ( x + ) − (2 x + 3) − (15 x + ) ( x + 3) + 15 x + =0 x + 12 x + − 15 x − ⇔ ( x − 3x ) ( x + ) − =0 ( x + 3) + 15 x + x − x = (1) ⇔ ( x − 3x ) x + − = ⇔ x + − =0 x + + 15 x + x + + 15 x + (2) x = (đều thoả mãn ĐKXĐ) − Pt (1) ⇔ x = Xét Pt (2): x + − x + + 15 x + =0 17 x + + 15 x + ≥ ≤ Vì x ≥ − x + ≥ 5 x + + 15 x + 9 Suy x + − x + + 15 x + ≥ 128 > nên pt (2) vô nghiệm 45 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 63 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 0; 4 x + xy + 49 = Giải hệ phương trình x xy y y 17 x − + = − Nhân hai vế phương trình (2) với 3, cộng với phương trình (1) vế theo vế ta pt: x3 + x + xy − 24 xy + y + 49 = 24 y − 51x ⇔ x + x + x + + y ( x + 1) − 24 y ( x + 1) + 48 ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + 1)2 + y − 24 y + 48 = ⇔ ( x + 1) ( x + 1)2 + 3( y − 4)2 = x +1 = ⇔ 2 ( x + 1) + 3( y − 4) = x = −1 x = −1 TH1: ⇔ y = 4; y = −4 x + 3xy = −49 ( x + 1) + 3( y − 4) = x = −1 TH2: ⇔ y=4 x + 3xy = −49 Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x, y ) ∈ {( −1; ) , ( −1; −4 )} Câu (4,0 điểm) Tìm tất số nguyên ( m, p, q ) thỏa mãn: 2m ⋅ p + = q m > 0; p, q hai số nguyên tố Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a khác b ab ( a + b ) chia hết cho a + ab + b Chứng minh a − b > ab Lời giải Tìm tất số nguyên ( m, p, q ) thỏa mãn: 2m ⋅ p + = q m > 0; p, q hai số nguyên tố Vì m > p nguyên tố nên 2m p + lẻ q lẻ ( ) Nếu p = 2m+ + = q5 ⇔ ( q − 1) q + q3 + q + q + = 2m+ Vì q lẻ q + q + q + q + lẻ lớn 2m+ có ước lẻ lớn , vơ lý Do p lẻ ( ) Ta viết phương trình cho dạng ( q − 1) q + q3 + q + q + = 2m p Do q + q + q + q + lẻ lớn nên q + q + q + q + = p q + q + q + q + = p + Xét trường hợp q + q + q + q + = p q − = 2m p Do 2m p > p nên q − > q + q + q + q + (vô lý) + Xét trường hợp Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 64 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 q + q + q + q + = p 4q + 4q + q < p = q + q + 4q + 4q + 2 < 4q + 4q + 9q + 4q + ( 2q + q ) < p < ( 2q + q + ) Từ suy p = ( 2q + q + 1) Ta phương trình ( q + q + q + q + 1) = ( 2q + q + 1) ⇔ q − 2q − = , mà q nguyên tố, suy q = , từ tìm p = 11; m = Vậy ta có ba số nguyên thoả mãn yêu cầu toán là: ( m, p, q ) = (1;11;3 ) Cho a, b hai số nguyên thỏa mãn a khác b ab ( a + b ) chia hết cho a + ab + b Chứng minh a − b > ab Đặt d = ƯCLN(a, b) Suy a = xd , b = yd với ƯCLN ( x, y ) = Khi đó: ab ( a + b ) dxy ( x + y ) = ∈Z 2 a + ab + b x + xy + y ( ) ( ) Ta có UCLN x + xy + y ; x = UCLN y ; x = ( ) Tương tự UCLN x + xy + y ; y = ( Đặt d ' = UCLN x + y, x + xy + y ) x + y⋮d ' ( x + xy + y ) − x ( x + y )⋮ d ' x ⋮ d ' d ' =1 2 x + xy + y ⋮ d ' ( x + xy + y ) − y ( x + y )⋮ d ' y ⋮ d ' Do d : x + xy + y d ≥ x + xy + y Mặt khác a − b |3 = d x − y |3 = d x − y d ≥ d ( x + xy + y ) > d xy = ab Vậy a − b > ab Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường trịn tâm I đường kính BC cắt cạnh AB AC M N Các tia BN CM cắt H Gọi K giao điềm IH với MN Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt đường thẳng CM BN E Q Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC BQI = ECI KN HN = KM HM Gọi D la giao điểm AH với BC Chứng minh 1 + + ≤ AD ⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 3( R − OH ) Lời giải Chứng minh IQ.IE = IC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 65 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 A N M K O H P B D E I C Q Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC BQI = ECI Ta có: ∆ANB ∼ ∆AMC ( g ⋅ g ) AN AB = AM AC Xét ∆ANM ∆ABC có: AN AB = ; A góc chung AM AC ∆ANM ∼ ∆ABC ( c.g.c ) (Đpcm) Vì ∆ANM ∼ ∆ABC ANM = ABC Mà ANM + MNB = ABC + MCB = 90 (Do BN ⊥ AC; CM ⊥ AB ) MNB = MCB mà MNB = BQI (2 góc so le trong) BQI = MCB hay BQI = ECI ( đpcm ) KN HN = Chứng minh IQ.IE = IC KM HM Theo câu a, BQI = ECI lại có BIQ = EIC (2 góc đối đỉnh) ∆BIQ ∼ ∆EIC ( g g ) IQ IB = IQ ⋅ IE = IC.IB mà IB = IC ( gt ) IQ.IE = IC IC IE IQ IC = (1) IE IE Áp dụng hệ Ta - Lét ta có: KN IC = Từ (1) (2) KM IE KN HK KM KN IQ = = = (2) IQ HI IE KM IE Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 66 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Trên cạnh EM lấy P cho IP = IE ( P ≠ E ) ∆IPE cân I IPC = IEP Mà IEP = HMN (2 góc so le trong, MN EQ ) HMN = IPE hay HMN = IPC Lại có: ICP = HNM ∆HMN ∼ ∆IPC ( g.g ) IC HN IC HN mà IP = IE (cách lấy điểm P ) (4) = = IP HM IE HM KN HN = Từ (3) (4) ( đpcm ) KM HM Gọi D la giao điểm AH với BC Chứng minh 1 + + ≤ AD ⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 3( R − OH ) Vì BN ⊥ AC ; CM ⊥ AB; {H } = BN ∩ CM H trực tâm ∆ABC AH ⊥ BC hay AD ⊥ BC Do ta có: HD HN HM S HBC S HAC S HAB + + = + + =1 AD BN CM S ABC S ABC S ABC AD − AH BN − BH CM − CH AH BH CH + + =1⇔ + + =2 AD BN CM AD BN CM Do H trực tâm ∆ABC nhọn nên H nằm ∆ABC AH ≥ AO − OH = R − OH > BH ≥ BO − OH = R − OH > (BĐT ba điểm) CH ≥ CO − OH = R − OH > 2= AH BH CH 1 + + ≥ ( R − OH ) + + AD BN CM AD BN CM 1 + + ≤ (5) AD BN CM R − OH Với x, y ta có : ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy Chứng minh tương tự : y + z ≥ yz; z + x ≥ zy Cộng theo vế ba BĐT ta được: ( x + y + z ) ≥ ( xy + z + zx ) ⇔ x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇔ ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) Áp dụng BĐT với x = 1 ta suy được: ;y= ;z = AD BN CM 1 1 + + + + ≥ 3 ( 6) AD BN CM AD ⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 1 Từ (5) (6) + + ≤ (đpcm) AD ⋅ BN BN ⋅ CM CM ⋅ AD 3( R − OH ) Dấu " =" xảy ⇔ dấu " =" bất đẳng thức đồng thời xảy ⇔ ∆ABC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 67 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP Câu TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 (2,0 điểm) Cho ba số a , b, c ≥ thỏa mãn 16 abc + ( ab + bc + ca ) = 81 + 24 ( a + b + c ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a ( + a −1 + a ) b( b −1 + b + ) c( c −1 + c ) Lời giải Ta coù: Q = a2 −1 − a b2 −1 − b c2 − − c + + a ( a2 − − a ) b ( b2 − − b2 ) c ( c2 −1 − c ) a2 −1 a2 −1 − a b2 −1 − b c2 −1 − c b2 − c2 − = + + = 3− + + a −a −b −c b c a2 −1 b2 − c2 −1 a2 −1 b2 − c2 − Q −3 = − + + + + = − P Với P = a b c a b c Sử dụng bất đẳng thức : Với x, y , z ≥ , ta ln có x + y + z ≤ ( x + y + z ) Dấu "=" xảy x = y = z Từ bất đẳng thức cho ta có: Suy P = − 1 1 1 1 + − + − ≤ 3 − + + = − + + a b c a b c a b c 1 1 P ≤ 9− + + a b c Từ giả thiết 16 abc + ( ab + bc + ca ) = 81 + 24 ( a + b + c ) ⇔ 16 = 81 1 1 1 + 24 + + − + + ( * ) abc ab bc ca a b c 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ⋅ + + ≤ ⋅ + + Ta có ab bc ca a b c abc 27 a b c Dấu "=" xảy a = b = c 1 Đặt t = + + ;0 < t ≤ (Vì a, b, c ≥ 1) Từ ( * ) ta có a b c 16 ≤ 3t + 8t − 4t ⇔ 3t + 8t − 4t − 16 ≥ ⇔ ( 3t − ) (t + 2) ≥ ⇔ t ≥ ( Vi < t ≤ 3) 65 65 − 65 1 1 4 Suy P ≤ − + + ≤ − = Dấu Q − = −P ≥ − ⇔Q≥ 3 a b c 3 16abc + ( ab + bc + ca ) = 81 + 24 ( a + b + c ) "=" xảy a = b = c ⇔a=b=c= a , b, c ≥ Vậy giá trị nhỏ Q − 65 a = b = c = Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 68 GV NHÓM ĐỖ TIẾN TRUNG 0979911991 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Học sinh giỏi • Câu Tỉnh Yên Bái Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức S = 2- 6-3 + 2 2 Cho P ( x ) = x + ax + bx + c với a, b, c số thực Biết P ( 2) = P ( 3) = 2023 Tính giá trị biểu thức Q = P ( 5) − P ( 0) Câu Câu Câu 1 x − 25 (3,0 điểm) Giải phương trình + +1 = x 3x − 3x + (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O B ) Qua điểm H kẻ dây cung MN vng góc với đường kính AB Một điểm C động cung nhỏ AN ( C khác A N ) Gọi L giao điểm BC MN a) Chứng minh ACLH tứ giác nội tiếp BH BA = BL.BC b) Chứng minh BN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN c) Đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt MC D Tìm vị trí điểm C cung nhỏ AN đường trịn tâm O cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn (4,0 điểm) ( )( ) Tìm tất ba số nguyên tố ( p, q, r ) thỏa mãn p + q + = r + Câu Cho m n số nguyên dương thỏa mãn mn+1 chia hết cho 24 Chứng minh m + n chia hết cho 24 (3,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh y+z z+x x+ y + + ≥3 x +1 y +1 z +1 Để chuẩn bị cho Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, bạn Tùng định luyện tập giải số tốn vịng tuần Theo dự định, bạn Tùng giải tốn ngày khơng q 10 tốn tuần Chứng minh tồn chuỗi ngày liên tiếp mà khoảng thời gian tổng số toán Tùng giải 23 _ Hết _ Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 69 GV NHÓM ĐỖ TIẾN TRUNG 0979911991 • Câu TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 LỜI GIẢI Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức S = 2- 6-3 + 2 2 Cho P ( x ) = x + ax + bx + c với a, b, c số thực Biết P ( 2) = P ( 3) = 2023 Tính giá trị biểu thức Q = P ( 5) − P ( 0) Câu x − 25 (3,0 điểm) Giải phương trình + +1 = x 3x − 3x + Lời giải Ta có: ( S= = ) ( ) 2- 6-3 2- 6-3 2- 6-3 2- 6-3 + = + = + = + 2 −1 - 3 −1 2- 6-3 3 −1 ( 3- 3 ( ) −1 ) ( ) ( ) =1 Ta có: P ( 2) = P ( 3) = 2023 ⇔ + 4a + 2b + c = 27 + 9a + 3b + c = 2023 5a + b = −19 Do đó: Q = P ( 5) − P ( ) = (125 + 25a + 5b + c ) − c = 125 + ( 5a + b ) = 125 + ( −19) = 30 Câu 1 x − 25 (3,0 điểm) Giải phương trình + +1 = x 3x − 3x + Lời giải −5 ⇔ t2 = ⇔ = x x t x − 25 + Khi đó, phương trình (*) ⇔ + = t ⇔ t − t − 48 = ⇔ t − 4t + 3t − 48 = ⇔ ( t − ) ( t − 3t + 12 ) = ⇔ t = t x = −1, ( th.m ) x − 25 + V ới t = ⇔ = ⇔ x − 16 x − 25 = ⇔ x = 25 , (loai ) x 19 + Đặt t = + Vậy: Phương trình cho có tập nghiệm S = {−1} Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O B ) Qua điểm H kẻ dây cung MN vng góc với đường kính AB Một điểm C động cung nhỏ AN ( C khác A N ) Gọi L giao điểm BC MN a) Chứng minh ACLH tứ giác nội tiếp BH BA = BL.BC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 70 GV NHÓM ĐỖ TIẾN TRUNG 0979911991 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 b) Chứng minh BN tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN c) Đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt MC D Tìm vị trí điểm C cung nhỏ AN đường trịn tâm O cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn Lời giải a) Tứ giác ACLH có: AHL = 90° ACL = ACB = 90° Suy ACLH nội tiếp Ta có: ∆HLB ∽ ∆CAB,( g.g ) BH BL = BH.BA = BL.BC BC BA b) Ta có: BNL = BNM NCL = NCB Do AB ⊥ MN B điểm cung MN Do BNM = BCN Suy BNL = NCL Suy BL tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CNL c) Do ND ⊥ AC BC ⊥ AC nên ND // BC Gọi J giao điểm AC DN Ta có: JCN + NCB = 90° , DCJ + JCN + NCB + BCM = 180° mà BCM = BCN DCJ = NCJ Suy CJ đường trung trực ND hay AC trung trực ND Ta có: AD = AN = AM Kẻ AK ⊥ DM ∆AKM ∽ ∆ACB,( g.g ) S∆AKM AM = = const S∆AKM = a.S∆ACB , ( a = const ) S∆ACB AB Ta có : S∆ADM lớn ⇔ S ∆AKM lớn ⇔ S ∆ACB lớn Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 71 GV NHÓM ĐỖ TIẾN TRUNG 0979911991 Mà: S ∆ACB = Câu TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 d ( C , AB ) AB lớn ⇔ C điểm cung AB , ( d ( C , AB ) ≤ R ) (4,0 điểm) ( )( ) Tìm tất ba số nguyên tố ( p, q, r ) thỏa mãn p + q + = r + 1( *) Vì ( p, q, r ) Lời giải ba số nguyên tố thỏa mãn (p + 1)( q + 1) = r + r > r lẻ r + chẵn p + 1; q + không lẻ Giả sử p = p + = lẻ q + chẵn Từ (*) 5q + = r + Nếu q số nguyên tố không chia hết cho q ≡ (mod 3) 5q ≡ (mod 3) 5q + ≡ (mod 3) ⇔ r ≡ (mod 3) ⇔ r ≡ (mod 3) , mà r số nguyên tố lớn , (không thỏa mãn) q =3 + Khi đó: r = 49 r = Vậy: ba số nguyên tố ( p, q, r ) thỏa mãn p + q + = r + 1( *) : ( 2;3;7 ) ; ( 3;2;7 ) ( )( ) Cho m n số nguyên dương thỏa mãn mn+1 chia hết cho 24 Chứng minh m + n chia hết cho 24 Lời giải + Đặt : A = mn +1+ m + n = ( m +1)( n +1) ; B = mn +1− m − n = ( m −1)( n −1) 2 + Xét A.B = m −1 n −1 ( )( ) + Vì mn+1⋮24 m ⋮ 24 n ⋮ 24 m ⋮ n ⋮ m − 1⋮ n − 1⋮ A.B⋮32 , (1) lẻ m n lẻ m − 1⋮ n − 1⋮ A.B⋮82 , ( ) + Mặt khác, mn+1⋮24 mn A⋮ 24 ( mn +1) + m + n⋮ 24 m + n⋮ 24 , ( ( mn +1)⋮ 24) B⋮ 24 ( mn +1) − ( m + n)⋮ 24 m + n⋮ 24 + Từ (1) (2) suy ra: A.B⋮ 24 Câu (3,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh y+ z z+ x x+ y + + ≥ x +1 y +1 z +1 Lời giải y+ z z+ x x+ y + + Đặt A = x +1 y +1 z +1 + Vì: x + y + z = x + y = − z; y + z = − x; x + z = − y + Khi đó: 3− x 3− y 3− z 3− x 3− y 3− z A= + + A+3 = + 1 + + 1 + + 1 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 4 A+3 = + + x +1 y +1 z +1 + Vì x + y + z = x + y + z + + + = 4 + x +1+ + y +1+ + z +1 + Ta có: A + + = x +1 y +1 z +1 + Áp dụng, bất đẳng thức Cơ- Si, ta có: + x +1 ≥ ( x + 1) = x +1 x +1 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 72 GV NHÓM ĐỖ TIẾN TRUNG 0979911991 Tương tự: TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 + y +1 ≥ ( y + 1) = y +1 y +1 + z +1 ≥ ( z + 1) = z +1 z +1 + Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên, suy ra: A + ≥ + + ⇔ A ≥ + Dấu “ = ” xảy x +1 = x +1 A+9 ≥ 4+ 4+ ⇔ = y +1 ⇔ x = y = z = y +1 = z +1 z +1 Để chuẩn bị cho Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, bạn Tùng định luyện tập giải số toán vòng tuần Theo dự định, bạn Tùng giải tốn ngày khơng q 10 tốn tuần Chứng minh ln tồn chuỗi ngày liên tiếp mà khoảng thời gian tổng số tốn Tùng giải 23 Lời giải + Gọi xi số toán mà Tùng giải ngày thứ i , ( ≤ i ≤ 42, i ∈ℤ ) Do Tùng giải tốn ngày khơng q 10 tốn tuần nên: ≤ xi ≤ ( ) ( + Đặt : Si = x1 + x2 + + xi , i = 1, 42 , ta có: Si ≠ S j , ∀i ≠ j; j = 1, 42 ) + Xét tập hợp A = {S1; S2 ; ; S42 } với ≤ Si ≤ 60 B = {S1 + 23; S2 + 23; ; S42 + 23} với 24 ≤ S j + 23 ≤ 83 Hai tập hợp A B có tất 84 phần tử, nhận giá trị tập hợp {1; 2;3; ;83} , (vì S 42 = x1 + x2 + + x42 ≤ 6.10 = 60 nên S42 + 23 ≤ 60 + 23 = 83 ) nên theo nguyên lý Đi- -lê, tồn hai phần tử Mặt khác, hai phần tử không thuộc A, không thuộc B Si ≠ S j nên phần tử thuộc A phần tử thuộc B, chẳng hạn Si ∈ A S j + 23 ∈ B Khi đó: Si = S j + 23, ( i > j ) nên Si − S j = 23 Vậy, từ ngày thứ j đến ngày thứ i chuỗi ngày liên tiếp mà khoảng thời gian tổng số tốn Tùng giải 23 -Hết - Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 73 ... https://vungocthanh 198 4.blogspot.com/ Trang 36 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi • • • Câu Tỉnh Ninh Bình Giáo viên góp đề: Trọng Ngun + 096 95246 89 Giáo... https://vungocthanh 198 4.blogspot.com/ Trang 37 VŨ NGỌC THÀNH TỔNG HỢP TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI • • • Câu Giáo viên góp đề: Trọng Nguyên + 096 95246 89 Giáo viên góp đề: ... https://vungocthanh 198 4.blogspot.com/ Trang 19 ĐỖ VĂN LINH TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi Tỉnh Bắc Kạn Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta0 89 thực Câu (6,0