Với mong muốn giúp các bạn học sinh khối 8 đạt kết quả cao trong kì thi HSG sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chia sẻ đến các bạn Đề thi khảo sát HSG môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Phú Thái, mời các bạn cùng tham khảo!
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP Năm học 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút PHỊNG GD&ĐT KIM THÀNH TRƯỜNG THCS PHÚ THÁI Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 2) Cho xyz = Tính giá trị biểu thức: P = 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích thành nhân tử: a b3 c a b c Áp dụng tìm x biết: x x x 1 x 3 2) Tìm số dư phép chia đa thức: x 1 x 2 x 3 x 6 2023 cho đa thức x 5x Câu (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c số tự nhiên Chứng minh A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 số phương (Số phương bình phương số tự nhiên) 2) Tìm số nguyên x y thỏa mãn 3xy + 2y – 2x + = Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC M N Chứng minh rằng: 1) AM = BF; 2) Tứ giác AEMD hình chữ nhật; 3) 1 2 AB AM AN Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P x2 x với x 1 x2 x HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm Tổng điểm a) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 0,25 = (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) +15 = [(x2 + 4x -1) – 4][(x2 + 4x – 1) + 4] + 15 = (x2 + 4x – 1)2 – 16 + 15 = (x2 + 4x – 1)2 – = (x2 + 4x – 2)(x2 + 4x) = x(x + 4)(x2 + 4x – 2) 1 P= + + + x + xy + y + yz + z + zx z zx P= + + z + xz + xyz zx + yzx + yzzx + z + zx 0,25 0,25 0,25 0,25 Thay xyz = biểu thức P ta có: z zx P= + + z + xz + zx + + z + z + zx z + zx + P= z + zx + P = Vậy P = Phân tích đa thức thành nhân tử: a b3 c3 a b c Ta có a b3 c a b c a b c3 3ab a b a b c 3 a b c 3c a b a b c 3ab a b a b c 3 a b c a b c ab 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 a b a b c c b c 3 a b b c a c (*) 1,00 Tìm x biết: x x x 1 x 2 Ta có: x x 1 13 x x (Theo (*)) 3 x x 1 x 1 x 3 Vì x x = 0; x = vô nghiệm KL: x = -2 P x 1 x 2 x 3 x 6 2023 P (x2 5x 6)(x2 5x 6) 2023 0,25 0,25 0,25 Đặt x2 + 5x + = t Ta có P = (t – 13)(t - 1) + 2023 P = t2 – 14t +13 + 2023 1,00 0,25 0,25 1,00 P = t2 – 14t + 2036 Do chia P = t2 – 14t + 2036 cho t ta có số dư 2036 1) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 A = 4(a2 + ab + ac)(a2 + ac + ab + bc) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = t Ta có A = 4t(t + bc) + b2c2 A = 4t2 + 4t.bc + b2c2 A = (2t + bc)2 = [2(a2 + ab + ac) + bc]2 = (2a2 + 2ab + 2ac + bc)2 Vì a, b, c số tự nhiên nên A số phương 1) 3xy + 2y – 2x + = (3x + 2)y = 2x – y 2x 1 2 ,x 3x 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 2x 1 x 2(3x 2) 7 3y 2 0,25 3x 3x 3x 3x y số nguyên 3y số nguyên Để 3y nhận giá trị số nguyên chia hết cho 3x + 0,25 Hay x ¦ (7) 1; 7 y 1,00 x 1; 3 Với x = -1 y = 3; với x = -3 y = Vậy ( x; y ) (1;3),(3;1) A E B M C 0,25 H F D N Xét ADM BAF có: BAF 900 ADM AD = AB (cạnh hình vuông) 4.1 DAM ABF (cùng phụ với góc HAB) Do ADM = BAF (g.c.g) Suy AM = BF (2 cạnh tương ứng) Do ADM = BAF (g.c.g) chứng minh câu a 4.2 Suy DM = AF (2 cạnh tương ứng) Mà DM // AF (Do AB//CD, E thuộc AB, M thuộc CD) 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 Suy AEMD hình bình hành 900 (Do DAB 900 E thuộc AB) Mặt khác DAE Do tứ giác AEMD hình chữ nhật AD AM AD CN Vì AD//CN (HƯ định lý Ta lét) CN MN AM MN MN CM AB CM Vì MC//AB (HƯ qu¶ ®Þnh lý Ta lÐt) AN AB AN MN 4.3 AD AB CM CN Suy (Vì CM2 + CN2 = MN2 2 AM AN MN theo Định lý Pytago áp dụng tam giác vuông CMN) AB AB 1 Suy (v× AD = AB) 2 2 AM AN AB AM AN 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 x x x 1 x x ( x 1) P 1 1 2 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 0,25 1 1 1 x x 12 x x 12 0,25 P 1 3 1 P , x 1 x 1 4 Vậy P đạt giá trị nhỏ 1,00 0,25 1 x (thỏa mãn) x 1 0,25