Đề thi khảo sát HSG môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Phú Thái

Với mong muốn giúp các bạn học sinh khối 8 đạt kết quả cao trong kì thi HSG sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chia sẻ đến các bạn Đề thi khảo sát HSG môn Toán lớp 8 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THCS Phú Thái, mời các bạn cùng tham khảo!

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP Năm học 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút PHỊNG GD&ĐT KIM THÀNH TRƯỜNG THCS PHÚ THÁI Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 2) Cho xyz = Tính giá trị biểu thức: P = 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích thành nhân tử: a  b3  c   a  b  c  Áp dụng tìm x biết:  x  x     x  1  x  3 2) Tìm số dư phép chia đa thức:  x 1 x  2 x  3 x  6  2023 cho đa thức x  5x  Câu (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c số tự nhiên Chứng minh A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 số phương (Số phương bình phương số tự nhiên) 2) Tìm số nguyên x y thỏa mãn 3xy + 2y – 2x + = Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC M N Chứng minh rằng: 1) AM = BF; 2) Tứ giác AEMD hình chữ nhật; 3) 1   2 AB AM AN Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P  x2  x  với x  1 x2  x  HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm Tổng điểm a) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 0,25 = (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) +15 = [(x2 + 4x -1) – 4][(x2 + 4x – 1) + 4] + 15 = (x2 + 4x – 1)2 – 16 + 15 = (x2 + 4x – 1)2 – = (x2 + 4x – 2)(x2 + 4x) = x(x + 4)(x2 + 4x – 2) 1 P= + + + x + xy + y + yz + z + zx z zx P= + + z + xz + xyz zx + yzx + yzzx + z + zx 0,25 0,25 0,25 0,25 Thay xyz = biểu thức P ta có: z zx P= + + z + xz + zx + + z + z + zx z + zx + P= z + zx + P = Vậy P = Phân tích đa thức thành nhân tử: a  b3  c3   a  b  c  Ta có a  b3  c   a  b  c    a  b   c3  3ab  a  b    a  b  c  3   a  b  c   3c  a  b  a  b  c   3ab  a  b    a  b  c   3  a  b   c  a  b  c   ab  1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  3 a  b  a  b  c   c  b  c    3 a  b b  c  a  c  (*) 1,00 Tìm x biết:  x  x     x  1  x  2 Ta có:  x    x  1  13   x  x    (Theo (*))  3  x  x  1 x  1  x    3 Vì x  x  = 0; x  = vô nghiệm KL: x = -2 P   x 1 x  2 x  3 x  6  2023 P  (x2  5x  6)(x2  5x  6)  2023 0,25 0,25 0,25 Đặt x2 + 5x + = t Ta có P = (t – 13)(t - 1) + 2023 P = t2 – 14t +13 + 2023 1,00 0,25 0,25 1,00 P = t2 – 14t + 2036 Do chia P = t2 – 14t + 2036 cho t ta có số dư 2036 1) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 A = 4(a2 + ab + ac)(a2 + ac + ab + bc) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = t Ta có A = 4t(t + bc) + b2c2 A = 4t2 + 4t.bc + b2c2 A = (2t + bc)2 = [2(a2 + ab + ac) + bc]2 = (2a2 + 2ab + 2ac + bc)2 Vì a, b, c số tự nhiên nên A số phương 1) 3xy + 2y – 2x + =  (3x + 2)y = 2x – y 2x 1 2 ,x  3x  0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 2x 1 x  2(3x  2)  7  3y   2 0,25 3x  3x  3x  3x  y số nguyên 3y số nguyên Để 3y nhận giá trị số nguyên chia hết cho 3x + 0,25 Hay x  ¦ (7)  1; 7 y 1,00 x  1; 3 Với x = -1 y = 3; với x = -3 y = Vậy ( x; y )  (1;3),(3;1) A E B M C 0,25 H F D N Xét  ADM  BAF có:   BAF   900 ADM AD = AB (cạnh hình vuông) 4.1   DAM  ABF (cùng phụ với góc HAB) Do  ADM =  BAF (g.c.g) Suy AM = BF (2 cạnh tương ứng) Do  ADM =  BAF (g.c.g) chứng minh câu a 4.2 Suy DM = AF (2 cạnh tương ứng) Mà DM // AF (Do AB//CD, E thuộc AB, M thuộc CD) 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 Suy AEMD hình bình hành   900 (Do DAB   900 E thuộc AB) Mặt khác DAE Do tứ giác AEMD hình chữ nhật AD AM AD CN Vì AD//CN   (HƯ định lý Ta lét) CN MN AM MN MN CM AB CM Vì MC//AB  (HƯ qu¶ ®Þnh lý Ta lÐt)    AN AB AN MN 4.3 AD AB CM  CN Suy    (Vì CM2 + CN2 = MN2 2 AM AN MN theo Định lý Pytago áp dụng tam giác vuông CMN) AB AB 1 Suy   (v× AD = AB)    2 2 AM AN AB AM AN 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 x  x   x  1  x x ( x  1)  P   1  1 2 x  2x 1  x  1  x  1  x  1 0,25 1 1 1        x   x  12  x   x  12  0,25 P  1  3 1 P     , x  1  x 1 4 Vậy P đạt giá trị nhỏ 1,00 0,25 1   x  (thỏa mãn)  x 1 0,25