046 đề thi hsg toán 9 tỉnh đồng nai 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 29/03/2019 Câu  x  y m   x  y m  x ; y   1) Cho nghiệm hệ phương trình  (với m tham số thực) Tìm m để biểu thức P x  y đạt giá trị nhỏ 2  x  y 1  x, y     3 x  y  2) Giải hệ phương trình  Câu 1) Giải phương trình x  x  24 x  27 x  0  x    2) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c b c   a    4     b c a  a b b c c a  Câu 1   a , b , c a b c Chứng minh abc4 1) Cho ba số nguyên khác thỏa 2) Tìm số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Câu 99 A     1 2 3 99  100 tổng 99 số hạng Cho B      100 tổng 99 số hạng Tính A  B Câu Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  I  Gọi D, E hai tiếp điểm    AB, AC với đường tròn  I  Biết ba góc BAC , ABC , BCA góc nhọn Gọi M N trung điểm hai đoạn BC AC 1) Chứng minh 2AD  AB  AC  BC 2) Chứng minh ba đường thẳng BI , DE , MN đồng quy ĐÁP ÁN Câu 1) Ta có:  x  y m  3 x  y 3m   x 2m  x 2m     m        2 x  y m  2 x  y m   y x  m   y m  Ta có: P x  y 4m   m  1 4m  8m   2m    12  12 Dấu " " xảy 2m  0  m  Min P  12  m   x  y 1   3 x  y   2)  x  y S  xy P Đặt   x  y   xy 1   x  y   3xy  x  y    1 S2 P   S  P 1     1 S2  S  3SP   S  3S    Ta có:  1 S2 P    3  2 S  3S  3S  0  1 S2  1 S  1 S P  P  P      S  5S  3S  0  S  1  5S  5S   0       5S  3S  0(vn) 2   x 0   P 0  x  y    y 1      y 0 S  xy       x  Câu 4 1) x  x  24 x  27 x  0  * Với x 0, phương trình vơ nghiệm Với x 0, chia hai vế phương trình (*) cho x : 27 3   *  x  x  24   0   x     x    18 0 x x x x    x   0   x  x  0(VN ) 3    x   x     x    0    x x     x   0  x  x  0  x  x 3    x 3  2) Ta có: a b c b c   a    4     b c a  a b b c c a  b c  a  b  c   a    1    1    1 4     b  c  a   a b b c c a  a b 4a bc 4b ca 4c       0 b a b c bc a c a  2  a  b    b  c    c  a  0 b a  b c  b  c a  c  a Ln a, b, c số dương Dấu xảy  a b c Câu 1    bc a  b  c   1 1) Ta có: a b c Th1: Nếu a số nguyên chẵn, suy a  b  c  2,   1  bc2 Vậy abc chia hết cho Th2: Nếu a số nguyên lẻ Với b c hai số lẻ b  c2  a  b  c  2 Mà abc khơng chia hết cho (vì a, b, c lẻ) Suy mâu thuẫn Vậy số b, c tồn số chẵn Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì bc chẵn nên a  b  c  chẵn suy c chẵn, a lẻ) Suy abc chia hết cho Với c chẵn, tương tự abc4 2) Gọi A số số nguyên dương không vượt 1000 Nên A 1000 B số số nguyên dương không vượt 1000 mà không nguyên tố với 999 C số số nguyên dương không vượt 1000 nguyên tố với 999 Ta có: 999 3 37 B (Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 3) – (Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3) 999   333 Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho là: 999  37  27 Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 là: 37 Số số nguyên dươn g không vượt 1000 chia hết cho 37 (chia hết cho 999  111  9 111 111) Số số nguyên dương không vượt 1000 chia hết cho 37 mà không chia hết cho : 27  18 Suy B 333  18 351  C  A  B 1000  351 649 Câu Ta có: 99 A     1 2 3 99  100      2   2 3 3   3   4 99  99 100 Và B      100  A  B 100 100  999    98  99   98  99  100  99  Câu A S E D I N B F M C 1) Gọi F tiếp điểm BC với đường tròn  I  , theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AD  AE , BD BF , CE CF Suy : AB  AC  BC  AD  DB    AE  CE    BF  FC   AD  AE 2 AD 2) Gọi S giao điểm BI MN Ta cần chứng minh: D, E , S thẳng hàng Thật Do MN đường trung bình ABC nên MN / / AB  BSM       B (hai góc so le trong); B2 B1  BSM B1 Suy tam giác MBS cân M nên MB MS MC SM  BC Tam giác BSC có đường trung tuyến nên tam giác BSC vng S Ta có: Tứ giác IECF IESC tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IC Nên điểm I , E , S , C , F thuộc đường trịn đường kính IC Ta có:   C   1   ; SIC  B  C   SEC B SEC SIC 1 1 (góc ngồi tam giác) Lại có tam giác ADE cân A   AED  ADE 180  A 900  A B  C   2 1 2 Nên   Từ (1) (2) suy SEC  AED mà A, E , C thẳng hàng nên D, E , S thẳng hàng Vậy ba đường thẳng BI , DE , MN đồng quy