PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN Câu (5 điểm) n n 1 n 1 n Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố x x x 1 x 1 Giải phương trình p Câu (5 điểm) Cho ba số thực khác a, b, c thỏa mãn điều kiện : 1 1 a b c 0 a b c a b c Tính giá trị biểu thức : 1 A a 2021 b 2021 c 2021 2021 2021 2021 b c a z x ; y ; z x y x y 10 Tìm tất số nguyên thỏa mãn Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn a b c A 2 2a b 2b c 2c a biểu thức: Câu (7 điểm) Cho đoạn thẳng AB 8cm điểm M nằm đoạn thẳng AB, nửa mặt phẳng bờ AB, dựng hai hình vng AMCD BMEF Gọi giao điểm đường thẳng AE BC điểm N , giao điểm đường thẳng AC BE P a) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường tròn b) Chứng minh DN FN MN điểm N , P, F thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) Một hình hộp chữ nhật có kích thước số nguyên dương a cm3 tính theo đơn vị cm, tích Biết đặt hình hộp chữ nhật lên mặt bàn tổng diện tích mặt nhìn thấy a a cm Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu n 3 n n n 1 n p 1 6 1) Ta có : Với n 0 P 1 số nguyên tố Với n 1 P 2 số nguyên tố Với n 2 P 5 số nguyên tố Với n 3 P 11 số nguyên tố Với n 4 n 3 n 17 n 3 , n2 ln tồn số chẵn nên P hợp số Vậy P số nguyên tố n 1;2;3 2) Giải phương trình x 1 6 x x 1 x 1 * Điều kiện xác định : x 6 Đặt t x x t x 2 t 5 x 1 x x 1 x x t2 x 1 x Thay vào * ta : t 1(ktm) t2 t 1 2t t 2 32 x 2 t 3 x 1 x x 5 Vậy S 2;5 Câu 1 1 1 1 0 a b c a b c Ta có : a b c a b c c a b c ab a b a b 0 a b 0 ab c a b c abc a b c a b 0 a b b c c a 0 b c 0 c a 0 a b b c c a Khi ta có : 1 A a 2021 b 2021 c 2021 2021 2021 2021 b c a 1 2021 2021 A a 2021 a a 2021 2021 2021 a a a 2021 a 1 2021 a z Nếu z 10 không số nguyên, x y x y z * xảy Nếu z 0 x y x y 11 x y 11 x 6 Th1: x y 1 y 5 x y 11 x 12 Th3: x y y x y 1 x 6 Th : x y 11 y x y x 12 Th : x y 11 y 11 z Nếu z 1 10 số chẵn chia dư x y x y số chẵn Mà x y x y 2 x số chẵn x y ; x y số chẵn x y x y 4 , mà z 10 không chia hết cho Nên z 1 xảy Vậy số nguyên x, y, z 6;5;0 , 6; 5;0 , 12; 1;0 , 12;11;0 Câu a b c A 2 2a b 2b c 2c a Ta có : 2a b a b a 2ab 2a 2abc a a 2a b 2ab 2a 2abc b bc Tương tự: b ; 2b c c ac c 2c a a ab 1 1 1 b bc 1 A b bc c ac a ab b bc b bc abc bc abc ab.bc 1 b bc A b bc b bc bc b Dấu " " xảy a b c 1 Max A a b c 1 Vậy Câu E D F P N C A M B a) Chứng minh bốn điểm A, N , P, B thuộc đường trịn Hình vng AMCD có đường chéo AC , CAM 45 PAB 45 Hình vng BMEF có đường chéo BE , EBM 45 PBA 45 Suy tam giác PAB vuông cân P, suy AP BE Xét tam giác EAB, có AP, EM đường cao cắt C, suy C trực tâm tam giác EAB, suy BC AE hay BN AE Tứ giác ANPB có ANB APB 90 nên tứ giác nội tiếp Suy điểm A, N , P, B thuộc đường tròn b) Chứng minh DN FN MN điểm N , P, F thẳng hàng Xét tứ giác ADNC , có ADC ANC 90 nên nội tiếp DNA DCA 45 1 Tương tự ENF EBF 45 Từ (1) (2) suy DNA ENF 45 Vì E , N , A thẳng hàng nên D, N , F thẳng hàng Suy MNF MEF 90 MN DF Xét tam giác DMF có DMF DMC EMF 90 , từ theo hệ thức lượng tam giác vng ta có DN FN MN Ta có tứ giác ENCP nội tiếp ENC EPC 180 CEN NPC hay APD NEM Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy MFN NEM , suy APD MFN hay APD DFM mà AP / / MF , suy D, P, F thẳng hàng Lại có D, P, N thẳng hàng Do điểm D, N , P, F thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M đoạn thẳng AB để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn Ta có : 1 1 1 1 4 MN MD MF 2 MA2 2MB MA MB MA MB AB 16 Câu Gọi kích thước hình hộp chữ nhật x, y, z Từ giả thiết, ta có a xyz 2 z x y xy xy z 1 2 z x y z 2 Ta có xy z 1 2 z x y 4 z xy xyz Xét hiệu xyz z 1 z 1 Suy Vậy a 108 4z 16 z xyz z z 1 16 z 16 z xy 108 108 z 3 z 3 z 1 0, z 2 Dấu " " xảy x 3, y z 6