PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỒNG HỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Câu (8 điểm) x 1 P x 4 x x x a) Cho biểu thức Tìm x biết P x 11 b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y 2 x m y x 2m cắt điểm nằm trục hoành 3 x my m m 1 x y m Tìm giá trị tham số m để c) Cho hệ phương trình hệ phương trình cho có nghiệm x; y thỏa mãn x y 1 Câu (4 điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho p 2020 p 2024 số nguyên tố b) Cho n số tự nhiên thỏa mãn n 2 Chứng minh n n 2n 2n số phương Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC AB AC vng A, có đường cao AH Gọi M , N hình chiếu vng góc H cạnh AB, AC Chứng minh BM AC CN AB AH BC Câu (5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn tâm O M khác A B) Kẻ MH AB H a) Biết AH 6cm, HB 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MH b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O cắt Ax, By hai điểm C D Chứng minh ba đường thẳng AD, BC , MH đồng quy c) Đường tròn nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với AB điểm K Chứng minh MA.MB 2 KA.KB Câu (1 điểm) Cho P x đa thức bậc với hệ số cao Biết P 2018 2019, P 2019 2020, P 2020 2021 Tính P 2017 P 2021 ĐÁP ÁN Câu x 0 x 0 a) ĐKXĐ: , Ta có: P P x x x 1 x x x x 3 x 11 x x 11 x x 9 x 3 x 16(tm) x 9 x 3(ktm) Vậy x 16 b) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm : x m x 2m x 3 3m Hai đường thẳng cho cắt điểm nằm trục hoành 3m m 0 m m hai đường thẳng cho cắt điểm trục hoành Vậy 3x my m 1 m 1 x y m 1 c) Xét hệ phương trình m my x , Từ (1) ta có : thay vào phương trình (2) ta có phương trình : y m m m 1 m 3 Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (3) có nghiệm m m m 0 m 3 Với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm m m 1 ; m m Theo ta có: x y 1 nên : x; y nhất: 2m m 1 3m m m (tm) m2 m2 m giá trị cần tìm Vậy Câu a) Tìm số nguyên tố p cho p 2020 p 2024 số nguyên tố Vì p số nguyên tố nên ta xét khả sau : Với p 2 p 2020, p 2024 số nguyên tố Vậy p 2 không thỏa mãn Với p 3 p 2020 2023, p 2024 2027 số nguyên tố Vậy p 3 thỏa mãn Với p 3k 1 k * Ta có : p 2024 3k 2025 3 k 675 số nguyên tố Vậy p 3k 1 k * không thỏa mãn Với p 3k k * Ta có p 2020 khơng số ngun tố Vậy p 3k k * không thỏa mãn Vậy p 3 b) Cho n số tự nhiên thỏa mãn n 2 Chứng minh n n 2n 2n khơng phải số phương n6 n 2n3 2n n n n3 2n Ta có : n n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 2n 1 Với n số tự nhiên thỏa mãn n 2 ta có : n 2n n 2n n 1 n 2n n n 1 n n 1 Vậy n 1 n 2n n Mặt khác, n 1, n hai số tự nhiên liên tiếp nên n 2n số phương (2) Từ (1) (2) suy n n 2n 2n khơng phải số phương Câu B M A H N C MH AB NH AC MH / / AC ; NH / / AB AC AB AB AC Ta có : BM BH CN CH , Áp dụng định lý Ta-let ta có : BA BC CA CB BM CN BH CH BH CH 1 BC Do đó, BA CA BC CB BM CA BA.CN BA.CA 1 1 S ABC AH BC AB AC ) 2 Lại có : AH BC AB AC (vì BM CA BA.BC AB AC Từ (1) (2) suy : Câu y x D M C A P Q I H K O B a) Biết AH 6cm, HB 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MH Tam giác AMB vng góc M có MH đường cao MH AH MH (hệ thức lượng tam giác vuông) MH AH BH 48 4 cm b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O cắt Ax, By hai điểm C D Chứng minh ba đường thẳng AD, BC , MH đồng quy Gọi I AD BC Vì AC / / BD nên ta có : AC AI CM BD ID MD (Vì AC CM , BD MD ) MI / / AC MH / / AC (cùng vng góc với AB) Suy M , I , H thẳng hàng Do ba đường thẳng AD, BC , MH đồng quy điểm I c) Đường tròn nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với AB điểm K Chứng minh MA.MB 2 KA.KB P Gọi , Q điểm tiếp xúc AM , BM với đường tròn nội tiếp MAB Đặt AB a, AM c, BM b Ta có : AK KB BQ QM MP PA a b c AK BQ BQ QM QM AK a b c a bc AK BM a b c AK a b c BK Tương tự : a c b a b c a c b a b c AK BK 2 2 2 2 a b c a b c 2bc 2bc 1 bc AM MB 2 2 2 KA.KB MA.MB Câu Đặt Q x P x x Ta có : Q 2018 P 2018 2018 0 Q 2019 P 2019 2019 0 Q 2020 P 2020 2020 0 Do đó, Q x đa thức bậc với hệ số cao có dạng : P x Q x x x 2018 x 2019 x 2020 x a x Ta có : P 2017 1 3 2017 a 2018 P 2021 3.2.1. 2021 a 2022 P 2017 P 2021 10084 6a 14148 6a 4064