PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SE KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút Ngày thi :12/11/2020 Câu (5,0 điểm) a Tính giá trị biểu thức 15a 25 2020 3 với a 13 13 2 b) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x y 1 y y 0 a) Câu (5,0 điểm) a) Chứng minh biểu diễn dạng p q r với p, q, r số hữu tỉ r dương 1 a b c a b c Chứng minh b) Xét số dương a, b, c thỏa mãn 8ab 8bc 8ac 3 a b c Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC đường cao CK , H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB 90 ; S , S1 , S theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC , ABH a) Chứng minh HK CK AK BK b) Chứng minh S S1.S2 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M (M không trùng với B C) Từ M kẻ ME vng góc với AB E, MF vng góc với AC F a) Chứng minh M di chuyển cạnh BC đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm cố định D b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để diện tích tam giác EDF có giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác ĐÁP ÁN Câu a a) Tính giá trị biểu thức 15a 25 2020 3 với a 13 13 2 b) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x y 1 y y 0 Lời giải : 3 a) Ta có : x y x y 3xy x y Áp dụng đẳng thức ta có : 3 a 13 13 13 13 3 13 13 13 13 26 3 132 a 26 a 26 15a a 26 15a a 15a 25 1 a Khi ta có, 15a 25 2020 12020 1 b) Ta có : x x y 1 y y 0 x xy x y y 0 x xy y x y y y 2 2 x y x y y 1 2 2 x y 1 y 1 2 Do x, y số nguyên nên ta có trường hợp sau : x y 1 x 6 Th1: y 1 y 2 x y x 4 Th3: y 1 y 2 x y 1 x 2 *)Th : y y 0 x y x 0 *)Th : y y 0 Vậy cặp số nguyên x; y cần tìm 6;2 , 2;0 , 4;2 , 0;0 Câu a) Chứng minh biểu diễn dạng p q r với p, q, r số hữu tỉ r dương Giả sử p q r p q r p p q r pq 2r q r p pq r r p q q 3r p pq r r p q q r 2 m +)Nếu r số phương số hữu tỉ có dạng n p q r với số p, q Điều vơ lý 3 2 số hữu tỉ số vô tỉ m +)Nếu r khơng số phương khơng số hữu tỉ có dạng n 2 p pq r r số vơ tỉ vơ lý p q q r số hữu tỉ với số p, q, r Vậy biểu diễn dạng p q r với p, q, r số hữu tỉ r dương 1 a b c a b c Chứng minh b) Xét số dương a, b, c thỏa mãn 8ab 8bc 8ca 3 a b c Với ba số dương a, b, c xét biểu thức : 8ab 8bc 8ca 1 1 a 8b b 8c c 8a a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy schwarz cho hai ba số 1 1 b ; c ; a a b c ta có : a; b; c 1 1 1 1 a 8b b 8c c 8a a b c 8b 8c 8a a b c a b c 1 1 8ab 8bc 8ca a b c 8a 8c 8a a b c 1 1 8ab 8bc 8ca a b c 8a 8b 8c a b c 8ca 8ab 8bc 8ca a b c a b c 8ab 8bc 9 a b c 8ab 8bc 8ca 3 a b c (dfcm) Câu A K D H M B C a) Chứng minh HK CK AK BK Xét HKB AKC có : KBH KCA (cùng phụ với BAC ) BKH CKA 90 HKB ∽ AKC ( g.g ) HK BK HK CK AK BK 1 AK CK AB KH CK S1.S2 S1S AB KH CK (*) b) Chứng minh S S1S2 lại có : AMB vng M có đường cao MK AK BK MK (hệ thức lượng tam giác vuông) (2) CH CK MK KH CK MK 3 Từ (1) (2) Thay (3) vào (*) ta : S1S AB.MK S ANM S Câu A H E F M C B K D a) Chứng minh M di chuyển cạnh BC đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm cố định D Kẻ MH EF Gọi D điểm cho tứ giác ABCD hình vng MD cắt EF H MF cắt BD K Xét BME vng E có EBM 45 EMB 45 BME vuông cân E BE ME Tứ giác BEMK có B E K 90 BE ME BEMK hình vng BE ME MK BK AE KD Xét AME DMK có : AEM MKD 90 ; AE KD(cmt ), ME MK (cmt ) AME DMK (c.g.c) EAM KDM (hai góc tương ứng) Mà EAM MFE MFE KDM Lại có : FDC MFD (hai góc so le trong) nên ta có: KDM MDF FDC MFE MDF MFD EFD MDF EFD MDF 90 FDH vuong tai H DH EF Mà MH EF M , D, H thẳng hàng Vậy MH qua điểm D cố định b) Đặt AB a, AE x BE a x a 0,0 x a Ta có : S DFE S ABCD S BDE S DFC S AFE 1 1 1 a a a x ax x a x a ax x 2 2 2 1 a ax x S DEF đạt giá trị nhỏ 2 nhỏ 2 1 2 a ax x x a a a 2 2 Ta có : 2 1 1 a a ax x 2 Vậy đạt giá trị nhỏ Khi M trung điểm cạnh BC Câu Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác Ta xếp đoạn thẳng có độ dài tăng dần a1 a2 a7 Nếu tồn đoạn thẳng ak ; ak 1; ak 2 thỏa mãn ak ak 1 ak 2 đoạn thẳng lập thành tam giác Giả sử ngược lại : a1 a2 a3 ; a2 a3 a4 ; a3 a4 a5 ; a4 a5 a6 ; a5 a6 a7 Khi theo giả thiết : a1 10; a2 10 a3 20 a4 30 a5 50 a6 80 a7 130 Mâu thuẫn với giả thiết cho độ dài đoạn thẳng nhỏ 100 Vậy tồn đoạn thẳng ak ; ak 1; ak 2 mà ak ak 1 ak 2 Do tồn đoạn thẳng để ghép thành tam giác