019 đề thi hsg toán 9 huyện qùy hợp 2020 2021

111Equation Chapter Section 1PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN Câu (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức A   10    10  x  4  x x  13 x  20 P   x  x  3x  10 x  Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình sau : a) x   y  2019  z  2021   x  y  z  b) x  12 x  21  x  20 x  24  x  x  Câu (6,0 điêm) a) Xác định đa thức bậc bốn f  x  biết f   1 f  x   f  x  1 x  x  1  x  1 với x   3 b) Tìm x, y nguyên dương  x  y  thỏa mãn x  y  y  x c) Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh : 1    a  b  c  b2  c  a  c2  a  b  Câu Cho tam giác ABC vng A, AH vng góc với BC , AD đường phân giác Gọi HM , HN đường phân giác tam giác HAB, HAC a) Chứng minh DM / / AC AD MB b) Gọi AP, AQ đường phân giác tam giác AHB, AHC Chứng minh PQ 2 PB.CQ Cho tam giác ABC , đường cao AH Lấy điểm M nằm B C, vẽ MD vng góc với AB D, ME vng góc với AC E Tìm vị trí điểm M BC để diện tích MDE lớn Câu (1,0 điểm) Bảy người câu 100 cá Biết khơng có hai người câu số cá Chứng minh có ba người câu tổng cộng khơng 50 cá ĐÁP ÁN Câu 1 A   10    10  Ta có : A   A2 8  4  A2 8     10   10  8       8   6     A   1(do A  0) x  4  x x  13 x  20   x  x  3x  10 x  Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn P P  x 0  3 x  0   x    3 x  10 x  0  P Để biểu thức có nghĩa  x 0  16 x    x 4 16 x 0; x  , x 4 Vậy P có nghĩa Rút gọn : P  x  4  x x  13 x  20   x x  x  10 x  x  x   x  x  16  x  13 x  20     3x  x     x  2 x    x x   x     x 1 x  4  x x 1  x  b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên   x nguyên  32  x , x     x U (3)  1; 3 Để P nguyên  2 x   1;  1;  3  x   Vậy x   1;9;25 P nguyên x   1;3;5  x   1;9;25 thỏa mãn Câu Giải phương trình sau : a) x   y  2019  z  2021   x  y  z b) x  12 x  21  x  20 x  24  x  x  a) ĐKXĐ: x 5; y 2019, z  2021 Phương trình  a   x   y  2019  z  2021 x  y  z  x   x    y  2019  y  2019   z  2021  z  2021  0     x 5     y  2019   z  2021  0  x   0  x 6     y  2019  0   y 2020   z  2020  z  2021    Vậy x 6, y 2020, z  2020 2 2 b) Ta có: 3x  12 x  21 3  x     x  20 x  24 5  x     2 Đặt a  x  12 x  21; b  x  20 x  24, DK : a  0, b   a  b  x  x  2 Phương trình (2) có dạng a  b a  b   a  b   a  b  1 0  a  b  0  a  b   2 2 Với a  b  0  a  b 1 mà a  b  x  x   a  b  x  x   a  x  x  Ta có phương trình x  12 x  21  x  x  Xét vế trái : x  12 x  21   x     3 2  x  x    x    3 Và vế phải : Dấu " " xảy x  0  x 2 Vậy phương trình (2) có nghiệm x 2 Câu a) Xác định đa thức bậc bốn f  x  biết f   1 f  x   f  x  1 x  x  1  x  1 với x   f x f x  ax  bx  cx  dx  e  a, b, c, d , e  , a 0      Gọi đa thức bậc bốn có dạng : Ta có : f   1  e 1 f  x  ax  bx  cx  dx  e f  x  1 a  x  1  b  x  1  c  x  1  d  x  1  e f ( x)  f ( x  1) ax  a  x  1  bx  b  x  1  cx  c  x  1  dx  d  x  1 f ( x)  f ( x  1) 4ax  x  2a  b   x  4a  3b  2c   a  b  c  d Mà f  x   f  x  1 x  x  1  x  1 2 x  3x  x  a   4a 2  2a  b   b 2    4a  3b  2c 1 c   a  b  c  d 0  d 1  f  x   x  x  x  x   2 3 b) Tìm x, y nguyên dương  x  y  thỏa mãn x  y  y  x x3  y  y  x   x  y   x  xy  y  7  x  y   x  y (ktm)   x  y   x  xy  y   0   2  x  xy  y  0  2 Do x, y   , x  xy  y 7  x, y 2  y 1(tm) x 2  22  y  y 7  y  y  0    y  3(ktm) Nếu Tương tự x 1  y 2 x; y    2;1 ;  1;2   Vậy có cặp nghiệm thỏa mãn  c) Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Chứng minh : 1    a  b  c  b2  c  a  c2  a  b  1 1 a  , b  , c  , abc  1 x y z xyz Đặt Ta có : x y z  ;  ;  a  b  c y  z b  c  a z  x c  a  b x  y 1 x y z      a2  b  c  b2  c  a  c2  a  b  y  z z  x x  y x y z xyz xyz xyz 1  1  1    yz zx x y yz zx xy x y z xyz xyz xyz      3 yz zx xy yz zx xy  x yz x yz x yz 1      x  y  z      yz zx xy  yz zx xy   1  1        x  y    y  z    z  x         yz zx xy  yz zx xy  x  y  z  Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho cặp số  x  y  ,  y  z  ,  z  x   1    x  y    y  z    z  x        yz zx x y 3  x  y   y  z   z  x  3  x  y  y  z  z  x  1 1    x  y    y  z    z  x           2  yz zx x y Suy điều phải chứng minh Câu Cho tam giác ABC vng A, AH vng góc với BC , AD đường phân giác Gọi HM , HN đường phân giác tam giác HAB, HAC B H M A D N C a) Chứng minh DM / / AC AD MB Áp dụng tính chất tia phân giác AD, HM tương ứng tam giác ABC , AHB ta có : DB AB MB HB  ,   1 DC AC MC HA BAC BHA  90    ABC ,  HBA Xét có : ABH ABC DB MB  ABC ∽ HBA( g g )    2 DC MC DB MB  Từ (1) (2) suy DC MC Theo định lý Ta – let đảo ta có MD / / AC *Chứng minh AD MN Chứng minh hoàn tồn tương tự ta có : DN / / AB  MD / / AC  AMDN  DN / / AB  AMDN Tứ giác có : hình bình hành Lại có AD phân giác MAN nên AMDN hình thoi Hơn nữa, MAN 90 , AMDN hình vng Vậy AD MN (dfcm) b) Gọi AP, AQ đường phân giác tam giác AHB, AHC Chứng minh PQ 2 PB.CQ B P H M D Q A N C Ta có: CAP PAH  HAC CPA PAB  PBA (góc ngồi) Mà PAH PAB, HAC PBA , CAP CPA  CAP cân C  CA CP Tương tự BA BQ Khi PQ  AB  AC  BC ; BP BC  AC ; CQ BC  AB Suy : BP.CQ 2  BC  AC   BC  AB  2 BC  BC  AB  AC   AB AC BC  AB  AC  BC. AB  AC   AB AC BC  BC. AB  AC    AB  AC  2  AB  AC  BC  PQ 2 Vậy PQ 2 PB.CQ Cho tam giác ABC , đường cao AH Lấy điểm M nằm B C, vẽ MD vng góc với AB D, ME vng góc với AC E Tìm vị trí điểm M BC để diện tích MDE lớn A E D B M H K C Đặt AB  AC BC a, AH h Nhận xét a, h đại lượng không đổi Ta có : S ABC S ABM  S ACM  MD AB ME AC a 2S    MD  ME   ABC  1 2 a Hơn S ABC  AH BC ah 2S   h  ABC   2 a Từ (1) (2) suy MD  ME h S MDE  DM EK Hạ EK  DM , ta có Mà EK ME.sin EMK EMK CMK  CME DMB  CME  90  B    90  C  60 S MDE  DM ME sin 60  DM ME Do Áp dụng bất đẳng thức Khi S MDE   a  b ab    DM  ME  DM ME   h2 3 DM ME  h (không đổi) Dấu " " xảy  MD ME  M trung điểm BC h2  dvdt  Vậy giá trị lớn S MDE M trung điểm BC Câu Bảy người câu 100 cá Biết khơng có hai người câu số cá Chứng minh có ba người câu tổng cộng khơng 50 cá Gọi  *, i 1, số cá người câu Giả sử a1  a2  a3   a7 *Trường hợp 1: a4 14 Khi a1  a2  a3  a4 14  13  12  11 50  a5  a6  a7 50 * Trường hợp 2: a4  14 , a5  a6  a7 16  17  18 51 Vậy a5  a6  a7 50