UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN : TỐN Thời gian làm : 150 phút Câu (5,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A 15 15 x 1 x x1 P ;Q x1 x x (với x 1) 2) Cho biểu thức a) Tính giá trị P x 6 b) Chứng minh tích P.Q khơng phụ thuộc vào x c) Tìm x để P Q Câu (4,0 điểm) d : y 21 m x m 2 m m , Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng m tham số) Giả sử d cắt hai trục tọa độ Ox, Oy theo thứ tự A B a) Khi m 3, tìm tọa độ điểm A, B tính diện tích tam giác OAB b) Tìm tất giá trị m cho tam giác OAB cân O (O gốc tọa độ) Câu (2, điểm) Giải phương trình sau : a) x 1 4 x b)4 x x 2 x 4 x 3x 2 Câu (1,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn x y x 19 Câu (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với đường tròn tâm A (điểm I tiếp điểm, I H không trùng nhau), tiếp tuyến BI cắt đường thẳng AC D a) Chứng minh bốn điểm A, H , B, I thuộc đường tròn b) Cho AB 4cm, AC 3cm Tính số đo góc ABI (làm tròn đến phút) c) Gọi HK đường kính đường trịn tâm A Chứng minh IAD KAD BC BI DK Câu (1,5 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x4 y4 S y x biểu thức x 1 y 4 Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu 1) A 15 5 3 b)Q Xét 1 5 x 1 x 1 1 1 2 52 x1 1 x x1 x x 1 x x 1 P.Q 5 P x 6 2) a) Ta có : Suy : 15 x1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 Vậy tích P.Q khơng phụ thuộc vào x x1 x 1 x1 x 1 x 1 2 2 x x x 1 x1 x 1 P Q 21 x x 1 2 x 1 x Kết hợp với điều kiện x giá trị cần tìm 2c) P Q Câu a) Khi m 3, tìm tọa độ điểm A, B tính diện tích tam giác OAB Với m 3 có phương trình d : y x 1 1 y 0 x A ;0 ; x 0 y 1 B 0;1 4 Cho 1 1 S AOB OA.OB dvdt 2 AOB vng O, nên b) Tìm tất giá trị m cho tam giác OAB cân O AOB cân O, OA OB Nếu m 1 d : y 1không cắt trục Ox suy m 1 x 0 y 1 B 0; m m 2 y 0 x 1 A ;0 m 1 m 1 Cho Cho OA OB m 2 m 1 m 2 m 1 m 1;2 m 2 m 1 m 0 m m 1 m m 1;2 Vậy có giá trị m 0 Câu a) Giải phương trình : m thỏa mãn yêu cầu toán x 1 4 x 4 x 0 x 1 4 x 2 x x x x 15 x 10 x 0 x x x 1 x 1 x 1 3x 1 0 x Vậy x 1 nghiệm phương trình b) Giải phương trình x x 2 x 4 x x x Phương trình cho viết lại thành : ĐKXĐ: x x x x 3 x 2 x 0 2x *)2 x x 3 2 x x 0 2 x 0 x 0 x 1(tm) x 0 x x 0 x (ktm) *) x 0 x 1(tm) Vậy x 1 nghiệm phương trình 2 x ; y x y x 19 1 Câu 4.Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn 1 x 1 3 y 2 2 y y y 0;1;4 Để phương trình có nghiệm y 2 y 2 y Từ (2) ta có : số nguyên lẻ y 1 y 1 Với y 1thay vào (2) ta x 2 x Do ta cặp số nguyên x; y 2;1 , 2; 1 , 4;1 , 4; 1 Câu K D A I C H B a) Chứng minh bốn điểm A, H , B, I thuộc đường tròn Do BI tiếp tuyến A BI AI AIB 90 I thuộc đường trịn đường kính AB 1 AHB 90 AH BC H thuộc đường tròn đường kính AB Từ (1) (2) điểm A, H , B, I thuộc đường trịn đường kính AB b) Cho AB 4cm, AC 3cm Tính số đo góc ABI (làm trịn đến phút) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC , đường cao AH ta có : 1 1 25 144 12 2 2 2 AH cm 2 AH AB AC 144 25 12 AI AH (vì bán kính đường tròn tâm A) sin ABI ABI 36 52' c) Gọi HK đường kính A Chứng minh IAD KAD BC BI DK BI BH 1 +)Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có : BAI BAH BAI BAH 90 BAI 90 BAH IAD HAC Mà HAC KAD IAD KAD +)Xét ADI ADK có : AD chung , IAD KAD(cmt ); AI AK R ADI AKI (c.g c) AKD AID 90 (hai góc tương ứng) AKD vng K Xét AKD vng tam giác AHC vng có : AK AH R , KAD HAC (đối đỉnh) AKD AHC (cgv gn) DK HC (hai cạnh tương ứng) Từ (1) (2) suy BC BH HC BI DK (dfcm) Câu x 1 y 4 xy x y 3 Từ giả thiết Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm ta có : xy x y x y x 1 y 1 x y x y 2 2 2 2 y2 x2 y2 x4 y x S y x y x x y Mà 2 x y x y x y 2 x y 4 x y Đẳng thức xảy x y 1 Vậy giá trị nhỏ P x y 1