Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Nam Định 2020 - 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp: Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: ( 3,0 điểm ) 𝑎−4 1) Cho P = √7 − 4√3 + √(𝑎 + 3)√𝑎 − 3𝑎 − : ( 3(√𝑎−2) − 1) với 𝑎 ≥ 0; 𝑎 ≠ 1; 𝑎 ≠ Rút gọn biểu thức P 2) Tìm tất số thực 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa mãn điều kiện 2√𝑥 + 2√𝑦 − 𝑥 + 3√𝑧 − 𝑦 = (𝑧 + 17) Câu (5,0 điểm) 1) Giải phương trình 6𝑥√2𝑥 + = 6𝑥 + 2𝑥 + 22 − 4√2𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑥 = 2𝑦 2) Giải hệ phương trình { 𝑥 𝑦 + 𝑦 = −2𝑥 Câu (3,0 điểm) 1) Tính tổng tất số nguyên 𝑥 thỏa mãn 𝑥 + 𝑥 − 𝑎 = với 𝑎 số nguyên tố 2) Tìm nghiệm tổng quát nguyên dương phương trình (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑦 + 3𝑥 = 𝑧 + Câu (7,0 điểm) Trên dường tròn (𝑂) lấy điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhọn Gọi 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 đường cao tam giác 𝐴𝐵𝐶; đường thẳng 𝐸𝐹 cắt đường thẳng 𝐵𝐶 𝑃 Qua 𝐷 kẻ đường thẳng song song với đường thẳng 𝐸𝐹 cắt đường thẳng 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑄 𝑅, 𝑀 trung điểm 𝐵𝐶 1) Chứng minh tứ giác 𝐵𝑄𝐶𝑅 tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh hai tam giác 𝐸𝑃𝑀 𝐷𝐸𝑀 đồng dạng 3) Giả sử 𝐵𝐶 dây cung cố định không qua tâm 𝑂, 𝐴 di động cung lớn 𝐵𝐶 đường tròn (𝑂) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác 𝑃𝑄𝑅 ln qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) 1) Cho 2021 số tự nhiên từ đến 2024 bảng, lần thay một vài số tổng chữ số bảng lại số từ đến Hổi cuối cùng, bảng có chữ số 3, chữ số 7? 2) Cho số thực dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa mãn 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 24 Timg giá trị nhỏ biểu thức 𝑀= 𝑥𝑦𝑧 + 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 + Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Ký tên: Họ, tên chữ ký GT 1: Họ, tên chữ ký GT 2: