PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TỐN Thời gian : 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu (5 điểm) x x x x 3 x x x 1 3 x 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A A 2) Chứng minh Câu (5 điểm) A (2020 chữ số 2) 1) Giải phương trình sau : x x 2 x x 2) Tìm số nguyên x để biểu thức x x x x số phương Câu (4 điểm) 1) Cho P x x ax bx cx d , a, b, c, d số Biết P P 437.P P 6, P 12, P 18 Tính 2020 3 2) Với số dương a, b thỏa mãn a b 6ab 8 Tìm giá trị nhỏ : P ab a b ab A Câu (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O có D, E , F theo thứ tự là trung điểm BC , AC , AB Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Chứng tam giác HAB tam giác ODE đồng dạng b) Kẻ đường thẳng DM / / OA, EN / / OB, FG / / OC M AH , N BH , G CH ) Chứng minh đường thẳng DM , EN , FG đồng quy 2) Từ điểm M nằm tam giác ABC cho trước vẽ đường vng góc MA ', MB ', MC ' đến BC , CA, AB Tìm vị trí M để tích MA '.MB '.MC ' đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) Cho dãy gồm 1000 số: 7;77;777;7777;……;777….7 Chứng minh dãy tồn số chia hết cho 2013 ĐÁP ÁN Câu 1) a) ĐKXĐ: x 0, x 9 x x x A x x 1 x x x 3 x x x 1 x x 3 x x 3 x 1 x x x 12 x 18 x x x 1 x x x x 24 x 1 x x x 1 x x 8 x x 8 x 1 b) Tìm GTNN A x 1 x 9 A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 CO SI 2.3 4 Min A 4 x 1 Vậy 2) Chứng minh A1 x 4(tmdk ) x 1 A A2 A1 2 A3 A2 2 A2020 A A2019 2 A 2(dfcm) (2020 chữ số 2) Câu 2 1) Giải phương trình sau : x x 2 x x Điều kiện : x 4 Phương trình cho tương đương với : x x 2 x x x x x 3 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 0 x 1 x x 3 1 x 1 0 x 1 x 1 1; 1;2 x 5 x 1 x x Với nên 1 x 1 x 1 x Vậy x 3 2) Tìm số nguyên x để biểu thức x x x x số phương 2 x x x x y Đặt (với y số tự nhiên) y x x x x x 3 x x x x 3 Ta có : 2 2 Ta chứng minh : a y a với a x x 11 2 y a x x x y a 2 Thật vậy, 1 a y 3x 3x 3 x y a 2 2 2 Do a y a y a 1 Hay x 2 2 x 1 x x x 3 x x 1 x x 0 x Vậy x 1; 2 Câu 1) Cho P x x ax bx cx d , a, b, c, d số Biết P P 437.P A P 6, P 12, P 18 Tính 2020 P P 437.P A 2020 Biết P 6, P 12, P 18 Tính Đặt Q( x ) P x x Q Q Q 0 2; 4; nghiệm Q x , mà Q x đa thức bậc nên Q(x) có dạng : Q x x x x x m P ( x) x x x x m 3x Tính P 48m, P 408 48m 48m 408 48m 437.6 3030 A 2020 2020 3 2) Với số dương a, b thỏa mãn a b 6ab 8 Tìm giá trị nhỏ : P ab a b ab a b3 6ab 8 a b a ab b 2a 2b 0 a b 2 Ta có : 1 P ab ab 2 a b ab a b 2ab ab 2ab P a b 2ab a b Dấu xảy a b 1 Min P a b 1 Vậy Câu 1) A F N B M H E O D G C a) Chứng minh tam giác HAB tam giác ODE đồng dạng Chứng minh ED / / AB, OD / / AH (cùng vng góc BC) BH / / OE (cùng vng góc AC ) ABH DEO; BAH EDO (góc có cạnh tương ứng song song) ABH ∽ DEO ( g g ) dfcm b) Kẻ đường thẳng DM / /OA, EN / / OB, FG / / OC M AH , N BH , G CH ) Chứng minh đường thẳng DM , EN , FG đồng quy OD / / AH Từ câu a, suy Chứng minh tứ giác AMDO hình bình hành suy OD AM MH , dẫn đến tứ giác MODH hình bình hành Nên DM qua trung điểm I OH Chứng minh tương tự có EN , FG qua I, nên đường thẳng DM , EN , FG đồng quy 2) Từ điểm M nằm tam giác ABC cho trước vẽ đường vng góc MA ', MB ', MC ' đến BC , CA, AB Tìm vị trí M để tích MA '.MB '.MC ' đạt giá trị lớn A B' C' B M A' C Đặt MA ' x, MB ' y, MC ' z, BC a, AC b, AB c S ABC S BMC S AMC S BMA ax by cz ax by cz 2S ABC 3 1 ax by cz 8S ABC MA '.MB '.MC ' xyz ax by cz abc abc 27 abc Dấu " " xảy ax by cz , suy diện tích tam giác BMC , AMC , AMB nhau, M trọng tâm tam giác ABC Vậy MA '.MB '.MC ' lớn M trọng tâm tam giác ABC Câu Tách 2013 3.11.61 3,11,61 đơi nguyên tố Sử dụng điều kiện chia hết cho đồng thời 11, số có số chữ số bội Đó số 777777 (6 chữ số), 777777777777 (12 chữ số ,….,777…77 (996 chữ số) Số số hạng dãy : 996 : 166 Khi chia 166 số cho 61 có 166 số dư, mà số dư phép chia nhận 61 giá trị từ đến 60, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn số dãy có số dư chia cho 61 hiệu hai số chia hết cho 61 n Hiệu hai số có dạng 77 7.10 (có k số 7, k 990) n 10 ,61 1 suy 77 chia hết cho 61 Mà Vậy 1000 số cho tồn tai số chia hết cho 2013