Đề thi HSG Toán 9 cấp thành phố năm 2017 Phòng GD&ĐT TP Thanh Hoá có đáp án

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 - 2017

Mơn Tốn: Lớp (Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức: :

2

1 1

x x x

P

x x x x x

   

   

   

  Với x  0, x 

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để

7 P  c) So sánh: P2và 2P. Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm x y Z,  thỏa mãn: 2y x x y2    1 x2 2y2 xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện:

2

2 2

1 1 1 1 a b c a b c       

 

 

Chứng minh rằng: a b c3   chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: 4x2 20x25 x2 6x 9 10x20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2+ 2y2+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y +

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF

a) Chứng minh: CM vng góc với EF

b) Chứng minh: NB.DE = a2và B, D, M thẳng hàng.

c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích

hình vng ABCD

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c > Chứng minh rằng:

a b c a b c

a b b c c a      b c  c a  a b

-

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 9

Bài Câu Nội dung Điểm

1 a Điều kiện: x  0, x 

 

  

  

3

2 1 : 1

2

1 1 1

2 1 : 1

2

1 1

1

2 ( 1) ( 1): 1

2

1 1

2 1 . 2

1

1 1

2 1

x x x

P

x x x x x

x x x

x x x

x

x x x x x x

x x x

x x

x

x x x

x x                                                      0,5 0,5 0,5 0,5

b Với x  0, x  Ta có: 2 7 2 2 7 1 1 7 6 0

( 2)( 3) 0

P x x x x x x x x                 

Vì x  3 nên x  2  x 4(t/m) Vậy P =

7 x =

0,5

1,0

0,25

0,25

2 2 2

( 2)

2 x x P P P P P P P                

Dấu “=” xảy P = x = Vậy P2  2P

0,25

0,25 0,25

2 a

 

2 2

2 2

2

2 1 2

2 1 2 0

1 (2 ) 1

y x x y x y xy

y x x y x y xy

x y y x

     

       

     

Vì x, yZ nên x - 1Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – = 1x =

Khi 2y2 - y – = - 1 y = (t/m) y =

2 

Z (loại) +) Nếu x – = -1 x =

Khi 2y2- y = 1

y = (t/m) y =  

Z (loại)

Vậy 2;

1 x x y y           0,5 0,25 0,5 0,5 0,25

b a) Từ giả thiết

2 2

1 1 1

( )

a b c a b c 1

2( )

ab bc ca     

   

Vì a, b, c 0 nên a + b + c =

0,5

0,5

   3

3 3

3 3

a b c

a b c

a b 3ab(a b) c a b c 3abc    

   

         

Vậy a b c 33   3 với a, b, c Z

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức

x3+ y3+ z3– 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2+ z2– xy – yz – zx) mà không chứng minh trừ 0,5 điểm

0,25 0,25

3 a Đkxđ:  x R

2

4x 20x25 x 6x 9 10x20 Vì 4x2 20x25 x2 6x 9 0 với x

10x – 20   0 x Ta có:

2

4 20 25 10 20 10 20

2 10 20 28

4( / )

x x x x x

x x x

x x x

x

x t m

      

             

 

Vậy phương trình có nghiệm x =

0,25

0,5

0,5

0,5

0,25

b x2+ 2y2+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

 2 2

2 7( ) 10

( 2)( 5)

4 1

x y x y y

x y x y y

x y

                     

* x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y =

Amax= - x = -2; y =

0,5

0,5

0,5

4 a

M

F E

C B A

D

N

Ta có:  ECD BCF (cùng phụ với ECB)

Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vng – góc nhọn) CE = CF

 ECF cân C

Mà CM đường trung tuyến nên CM EF

1,0

1,0

b * Vì EDC = FBC ED = FB

NCF vng C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:

BC2= NB.BFa2= NB.DE (đpcm)

*CEF vng C có CM đường trung tuyến nên EF CM  AEF vng A có AM đường trung tuyến nên EF

2 AM  CM = AM M thuộc đường trung trực AC

Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm)

0,5

0,5

0,5

0,5

SACFE= SACF+ SAEF= AF AE CB 

2  

 

1 (AB BF) AE AD

1 (a x).DE

1 (a x)x

   

   

SACFE= 3.SABCD (a x)x 3a 6a ax x 02 2

      

(2a x)(3a x)

   

Do x > 0; a >  3a + x > 2a x 0   x = 2a A trung điểm DE AE = a

Vì AE //BC nên AN AE NB BC  N trung điểm AB

Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD

0,25

0,5

0,5

0,25

5

* Vì a, b, c > nên a a a c a b a b a b c



  

   

Tương tự: b b a ; c c b

b c a b c c a a b c

 

 

     

2

a b c

a b b c c a

   

   (1)

* Ta có:

( )

a a

b c  a b c

Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có:

( ) ( ) 0

2

2

( )

a b c a b c

a b c a b c

    

 

  

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Khoá Học Nâng Cao HSG