Cho 3 sốp thực thỏa mãn a+b+c = 2018. Chứng minh rằng: Giải: Theo BĐT Chebeshep ta có: ….Tương tự ta có các BĐT khác.. Cộng từng vế ta có: Ta có ĐPCM.. a Ta có: góc PAN + góc PHN = 1800.=> tứ giác APHN nội tiếp. tứ giác APMN là hình vuông nên cũng nộit. => 5 điểm ANMPH cùng thuộc 1 đường tròn. Góc AHM = góc APM = 90 độ. Mà tứg MPCD nộit nên góc MPD = góc MCD. Ta lại có tam giác ABC cân tại A, có AD là đườngc, trung trực. => MB = MC => tamg MBC cân tại M => Góc MCD = góc MBD => góc MPD = goc MBD. (1) Mặt khác: Tứ giác APHM nộit nên góc APH + góc Amh = 180 (5) Tuwd 4,5 ta có góc AMB + góc AMH = 180. Do đó HMB thẳng hàng, suy ra góc AHB = 90, => H thuộc (O) Vậy S AHB lớn nhất khi HK lớn nhất ( HK là duong cao hạ từ H xuống AB) Mà theo hệ thức trong tamg vuông AHB ta có: S = 12AH.AB = ½ HK2. Vậy S lớn nhất khi HK = R khi đó H trùng D và M trùng D. b) Chứng minh HN luôn đi qua một điểm cố định Gọi E là giao điểm thứ hai của HN với đường tròn (O). Ta có goc AHN = APN = 450 . Và AHB = 90 , suy ra NHB = 45 . Do đó HN là tia phân giác của góc AHB, suy ra E là điểm chính giữa của cung AB, nên điểm E cố định. Vậy khi M di động trên đoạn thẳng AD thì HN luôn đi qua điểm E cố định là điểm chính giữa cung AB của (O).
Giải đề thi HSG toán tỉnh Hà Giang Năm học 2017 – 2018 Câu a/ Rút gọn BT A= = 2+ 2+ 4+2 + 2− 2− 4−2 2+ 2− + =1 3+ 3− b/ Trùng dạng đề 15-16 1 1 + + = = x y z 2018 x+ y+z xy + yz + xz => = => ( xy + yz + xz ).( x + y + z ) = xyz xyz x+ y+z => ( x + y ).( x + z ).( y + z ) = + / x + y = => x = − y => z = 2018 + / x = − z => y = 2018 + / y = − z => x = 2018 => KL Câu Giải hệ PT +/ TH1: x = y = z = +/ TH2: 4( x + y ) =3 xy 4( x + y ) = xy ⇔ 20( y + z ) = yz ⇔ 10( x + z ) = xz Dat :1 / x = A;1 / y = B;1 / z = C x + y 1 xy = x + y = ⇔ x = 2; y = 4; z = Câu Trùng đề 15 – 16 Câu Cho sốp thực thỏa mãn a+b+c = 2018 Chứng minh rằng: a + b4 c + b a + c + + ≥ 2018 a + b3 c + b3 a + c Giải: Theo BĐT Chebeshep ta có: a + b4 a + b ≥ a + b3 ….Tương tự ta có BĐT khác Cộng vế ta có: a + b c + b a + c 2(a + b + c ) + + ≥ = 2018 a + b3 c3 + b3 a + c Ta có ĐPCM Câu 5, Hình a/ Ta có: góc PAN + góc PHN = 1800.=> tứ giác APHN nội tiếp - tứ giác APMN hình vng nên nội/t => điểm ANMPH thuộc đường tròn Góc AHM = góc APM = 90 độ - Mà tứ/g MPCD nội/t nên góc MPD = góc MCD Ta lại có tam giác ABC cân A, có AD đường/c, trung trực => MB = MC => tam/g MBC cân M => Góc MCD = góc MBD => góc MPD = goc MBD (1) ·AMB = MBD · · · + MDB = MBD + 900 (2) ·APH = ·APM + MPH · · = MPD + 900 (3) tu (1, 2,3) => ·APH = ·AMB (4) Mặt khác: Tứ giác APHM nội/t nên góc APH + góc Amh = 180 (5) Tuwd 4,5 ta có góc AMB + góc AMH = 180 Do HMB thẳng hàng, suy góc AHB = 90, => H thuộc (O) Vậy S AHB lớn HK lớn ( HK duong cao hạ từ H xuống AB) Mà theo hệ thức tam/g vng AHB ta có: S = 1/2AH.AB = ½ HK2 Vậy S lớn HK = R H trùng D M trùng D b) Chứng minh HN qua điểm cố định Gọi E giao điểm thứ hai HN với đường tròn (O) Ta có goc AHN = APN = 450 Và AHB = 90 , suy NHB = 45 Do HN tia phân giác góc AHB, suy E điểm cung AB, nên điểm E cố định Vậy M di động đoạn thẳng AD HN ln qua điểm E cố định điểm cung AB (O) ... 90 0 (2) ·APH = ·APM + MPH · · = MPD + 90 0 (3) tu (1, 2,3) => ·APH = ·AMB (4) Mặt khác: Tứ giác APHM nội/t nên góc APH + góc Amh = 180 (5) Tuwd 4,5 ta có góc AMB + góc AMH = 180 Do HMB thẳng hàng,... nội tiếp - tứ giác APMN hình vng nên nội/t => điểm ANMPH thuộc đường tròn Góc AHM = góc APM = 90 độ - Mà tứ/g MPCD nội/t nên góc MPD = góc MCD Ta lại có tam giác ABC cân A, có AD đường/c, trung...a + b4 c + b a + c + + ≥ 2018 a + b3 c + b3 a + c Giải: Theo BĐT Chebeshep ta có: a + b4 a + b ≥ a + b3 ….Tương tự ta có BĐT khác Cộng vế ta có: a