SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu 1a
(1,25đ)
- Hàm số y = (m2 – 2m)x + m2 – 1 nghịch biến
⇔m2 – 2m < 0 ⇔ m(m – 2) < 0
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
<
⎩
⎨
⎧
<
>
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
−
<
⎩
⎨
⎧
<
−
>
) ( 2 0 2 0
0 2 0
0 2 0
loai m
m m m
m m m
m
⇔ 0 < m < 2 (1)
- Cắt trục tung : m2 – 1 = 3 ⇔ m = ± 2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ m ∈∅
0,25
0,25
0,25
0,5 Câu 1b
(1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của : M = 5x 2 + y 2 + z 2 - z – 4x – 2xy – 1
M = x2 - 2xy + y2 + 4x2 – 4x + 1 + z2 - z +
4
9 4
1 − = (x – y)2 + (2x – 1)2 +
2
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −z –
4
9 ≥ -
4
9
Giá trị nhỏ nhất của M =
4
9
−
⇔
2 1
0 2 1
0 1 2
0
=
=
=
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
=
−
z y x z
x
y x
0,25
0,5
0,25
0,5
Câu 1c
(1,25đ) Cho x + y = - 5 và x
2 + y 2 = 11 Tính x 3 + y 3
Ta có : x3 + y3 = (x+y)(x2 + y2 – xy) = -5(11 – xy) (1)
Mà x + y = -5 ⇒ x2 + y2 +2xy = 25
⇒ 11 + 2xy = 25 ⇒ xy = 7 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ x3 + y3 = -5(11- 7) = -20
0,25
0,5
0,5
Trang 3Câu 2a
x x
x x x
x x x
x
−
+
− +
+
−
− + + +
3
2 1 2 : 9 2 3
9 6 5
2 2
2 2
ĐK : -3 < x < 3
A = ( )( )
x x
x x
x x
x x
x x x x
x
−
+
−
−
− + + +
−
− + + + +
3
2 3
3 2 : 3 3 2 3
3 3 2
3
x x
x x x x
x x x x
x
−
+ +
+ +
−
−
− + + + +
3
3 2 : 3 2 3
3
3 3
2 3
=
x
x x
x
−
+
−
+
3
3 2 : 3 3
=
2 1
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25 Câu 2b
(2,0đ) Cho a, b c thỏa mãn : a+b+c = a+b+c
1 1
1
Tính giá trị biểu thức Q = (a 27 + b 27 )(b 41 + c 41 )(c 2013 +
a 2013 )
Ta có :
c b a c b
a+ + = + +
1 1
1 1
⇒
c c b a b a
1 1
1
+ +
= +
(a b c)
c
b a ab
b a
+ +
+
−
=
+
⇒ (a+b)c(a+b+c) = -ab(a+b)
⇒ (a+b)[c(a+b+c) +ab] = 0 ⇒(a+b)[c(a+c)+bc +ab] = 0
⇒ (a+b)[c(a+c) +b(a+c)] = 0⇒ (a+b)(a+c)(b+c) = 0
⇒
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
−
=
⇒
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= +
= +
= +
a c
c b
b a a
c
c b
b a
0 0 0
- Thế vào tính được Q = 0
0,25
0,25
0,5
0,25
0,75
Câu 3a
(2,0đ)
Giải phương trình : 3 x+ 10 + 3 17 −x = 3
(3 x+ 10 + 3 17 −x)3 = 3 3
x + 10 + 17 – x + 3 3 (x+ 10 )( 17 −x).3 = 27
(x+10)(17 – x) = 0
x = -10 , x = 17
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 3b
2,0đ Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
=
−
+ + +
−
19 2 3
2 3 2
5 5
3 2
y x
x
y y
x
Trang 4
(với , 5
2
3 > −
> y
5
3
2 = >
+
−
m y
x
⇒ m + 1 = 2
m ⇔m2 − 2m+ 1 = 0 ⇔(m− 1)2 = 0 ⇔ m= 1 (nhận)
5
3
+
−
y x y
x y
x
Giải hệ
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
= +
=
−
⇔
⎩
⎨
⎧
= +
=
−
2
5 19
2 3
16 2 4 19 2 3
8 2
y
x y
x
y x y
x
y x
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(4,0đ)
Câu a
(1,0đ)
(1,25đ)
Câu b
(1,25đ)
a) Chứng minh : KD = CI và EF//AB
– Cminh ABID, ABCK là hình bình hành
⇒ DI = CK (cùng bằng AB)
⇒ DI + IK = CK + IK ⇒ DK = CI
- C/m : ΔAEB đồng dạng Δ KED (g.g)
⇒
KD
AB
EK AE =
Δ AFB đồng dạng Δ CFI (g.g)
⇒ AF AB
FC = CI
Mà KD = CI (cmtrên)
⇒ AE AF EF / /KC
EK = FC ⇒ (Đlí Talet đảo trong Δ AKC)
b) Chứng minh AB2 = CD EF
Ta có : Δ KED đồng dạng ΔAEB (cmtrên)
⇒
EB
DE AB
EB
EB DE AB
AB
⇒
EB
DB AB
KC
⇒
EB
DB AB
DC = (1)
Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I ∈ KC)
Hình 0,5đ
0,5 0,25 0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
Trang 5⇒ DB DI DB AB
EB = EF ⇒ EB = EF (2) (Vì DI = AB)
EF
AB AB
DC
2 =
⇒
Câu 5
4,0đ
Câu a
(1,75đ)
Câu b
(075đ)
Câu c
(1,0đ)
a) Chứng minh MC + MB = MA ?
- Trên MA lấy D sao cho MD = MB
⇒ ΔMBD cân tại M góc BMD = góc BCA = 600 (cùng chắn cung AB)
⇒ ΔMBD đều
- Xét ΔMBC và ΔDBA
Ta có :
MB = BD (vì ΔMBD đều)
BC = AB (vì ΔABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC bằng 600)
⇒ ΔMBC = ΔDBA (c-g-c)
⇒ MC = DA
Mà MB = MD (gt)
⇒ MC + MB = MA
b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB +
MC đạt giá trị lớn nhất
Ta có : MA là dây cung của (O;R)
⇒ MA ≤ 2R
⇒ MA + MB + MC ≤ 4R (không đổi) Dấu “ = “ xảy ra ⇔MA là đường kính
⇔ M là điểm chính giữa của cung BC
3
S S R
+
Ta có MH AB +MK BC +MQ AC =S MAB +S MBC +S MAC
2
2
2
.
⇒ AB.(MH + MK + MQ ) = 2 (S + 2S’)
Hình 0,5đ
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
xO
A
D
C
B
M
H
Q
K
Trang 6Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho trọn số điểm
⇒ AB = R 3
⇒ MH + MK + MQ = ( )
R
S S
3
' 2 3
0,25
0,25