WWW.VNMATH.COM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Đá p án Điểm Câu 1a (1,25đ) - Hàm số y = (m 2 – 2m)x + m 2 – 1 nghịch biến ⇔ m 2 – 2m < 0 ⇔ m(m – 2) < 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ > < ⎩ ⎨ ⎧ < > ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ >− < ⎩ ⎨ ⎧ <− > )( 2 0 2 0 02 0 02 0 loai m m m m m m m m ⇔ 0 < m < 2 (1) - Cắt trục tung : m 2 – 1 = 3 ⇔ m = 2± (2) Từ (1) và (2) ⇒ m ∈∅ 0,25 0,25 0,25 0,5 Câu 1b (1,5đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của : M = 5x 2 + y 2 + z 2 - z – 4x – 2xy – 1 M = x 2 - 2xy + y 2 + 4x 2 – 4x + 1 + z 2 - z + 4 9 4 1 − = (x – y) 2 + (2x – 1) 2 + 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −z – 4 9 ≥ - 4 9 Giá trị nhỏ nhất của M = 4 9 − ⇔ 2 1 0 2 1 012 0 ===⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =− =− zyx z x yx 0,25 0,5 0,25 0,5 Câu 1c (1,25đ) Cho x + y = - 5 và x 2 + y 2 = 11. Tính x 3 + y 3 Ta có : x 3 + y 3 = (x+y)(x 2 + y 2 – xy) = -5(11 – xy) (1) Mà x + y = -5 ⇒ x 2 + y 2 +2xy = 25 ⇒ 11 + 2xy = 25 ⇒ xy = 7 (2) Từ (1) và (2) ⇒ x 3 + y 3 = -5(11- 7) = -20 0,25 0,5 0,5 WWW.VNMATH.COM Câu 2a (2,0đ) Rút gọn : A = () x x xxxx xxxx − + −++− −+++ 3 2 1.2: 923 965 22 22 ĐK : -3 < x < 3 A = ()() ()() x x x x xxxxx xxxxx − + − − −+++− −++++ 3 2 3 3 2: 3.323 3.323 = () [ ] () [] x x xxxxx xxxxx − + +++−− −++++ 3 3 2: .3233 3323 = x x x x − + − + 3 3 2: 3 3 = 2 1 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu 2b (2,0đ) Cho a, b c thỏa mãn : cbacba ++ =++ 1111 Tính giá trị biểu thức Q = (a 27 + b 27 )(b 41 + c 41 )(c 2013 + a 2013 ) Ta có : cbacba ++ =++ 1111 ⇒ ccbaba 1111 − ++ =+ ⇒ () () cbac ba ab ba ++ +− = + ⇒ (a+b)c(a+b+c) = -ab(a+b) ⇒ (a+b)[c(a+b+c) +ab] = 0 ⇒ (a+b)[c(a+c)+bc +ab] = 0 ⇒ (a+b)[c(a+c) +b(a+c)] = 0 ⇒ (a+b)(a+c)(b+c) = 0 ⇒ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= −= −= ⇒ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ =+ ac cb ba ac cb ba 0 0 0 - Thế vào tính được Q = 0 0,25 0,25 0,5 0,25 0,75 Câu 3a (2,0đ) Giải phương trình : 31710 33 =−++ xx () 3 3 33 31710 =−++ xx x + 10 + 17 – x + 3. 3 )17)(10( xx −+ .3 = 27 (x+10)(17 – x) = 0 x = -10 , x = 17 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3b 2,0đ Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ = − + + + − 1923 2 32 5 5 32 yx x y y x WWW.VNMATH.COM (với 5, 2 3 −>> yx ) Đặt 0 5 32 >= + − m y x ⇒ m + 2 1 = m ( ) 101012 2 2 =⇔=−⇔=+−⇔ mmmm (nhận) ⇒ 825321 5 32 =−⇔+=−⇔= + − yxyx y x Giải hệ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ =+ =− ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ =+ =− 2 5 1923 1624 1923 82 y x yx yx yx yx 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 (4,0đ) Câu a (1,0đ) (1,25đ) Câu b (1,25đ) a) Chứng minh : KD = CI và EF//AB. – Cminh ABID, ABCK là hình bình hành ⇒ DI = CK (cùng bằng AB) ⇒ DI + IK = CK + IK ⇒ DK = CI - C/m : ΔAEB đồng dạng Δ KED (g.g) ⇒ KD AB EK AE = Δ AFB đồng dạng Δ CFI (g.g) ⇒ A FAB FC CI = Mà KD = CI (cmtrên) ⇒ AE AF EF / /KC EK FC =⇒ (Đlí Talet đảo trong Δ AKC) b) Chứng minh AB 2 = CD. EF. Ta có : Δ KED đồng dạng ΔAEB (cmtrên) ⇒ EB DE AB DK = ⇒ EB EBDE A B ABDK + = + ⇒ EB DB AB KCDK = + ⇒ EB DB AB DC = (1) Do EF//DI (theo CMT: EF//KC, I ∈ KC) Hình 0,5đ 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 WWW.VNMATH.COM ⇒ DB DI DB AB EB EF EB EF =⇒ = (2) (Vì DI = AB) Từ (1) và (2) ⇒ EFDCAB EF AB AB DC . 2 =⇒= 0,5 Câu 5 4,0đ Câu a (1,75đ) Câu b (075đ) Câu c (1,0đ) a) Chứng minh MC + MB = MA ? - Trên MA lấy D sao cho MD = MB ⇒ ΔMBD cân tại M góc BMD = góc BCA = 60 0 (cùng chắn cung AB) ⇒ ΔMBD đều - Xét ΔMBC và ΔDBA Ta có : MB = BD (vì ΔMBD đều) BC = AB (vì ΔABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC bằng 60 0) ⇒ ΔMBC = ΔDBA (c-g-c) ⇒ MC = DA Mà MB = MD (gt) ⇒ MC + MB = MA b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Ta có : MA là dây cung của (O;R) ⇒ MA ≤ 2R ⇒ MA + MB + MC ≤ 4R (không đổi) Dấu “ = “ xảy ra ⇔ MA là đường kính ⇔ M là điểm chính giữa của cung BC c) CMR : MH + MK + MQ = ( ) 23 2' 3 SS R + Ta có MACMBCMAB SSS ACMQBCMKABMH ++=++ 2 . 2 . 2 . ⇒ AB.(MH + MK + MQ ) = 2 (S + 2S’) Tính hoặc nói AB là cạnh tam giác đều nội tiếp (O;R) Hình 0,5đ 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x O A D C B M H Q K WWW.VNMATH.COM Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho trọn số điểm ⇒ AB = R 3 ⇒ MH + MK + MQ = ( ) R SS 3 '232 + 0,25 0,25 WWW.VNMATH.COM . WWW.VNMATH.COM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Đá p án Điểm Câu 1a (1,25đ) -. + y 2 + 4x 2 – 4x + 1 + z 2 - z + 4 9 4 1 − = (x – y) 2 + (2x – 1) 2 + 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −z – 4 9 ≥ - 4 9 Giá trị nhỏ nhất của M = 4 9 − ⇔ 2 1 0 2 1 012 0 ===⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =− =− zyx z x yx . M góc BMD = góc BCA = 60 0 (cùng chắn cung AB) ⇒ ΔMBD đều - Xét ΔMBC và ΔDBA Ta có : MB = BD (vì ΔMBD đều) BC = AB (vì ΔABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng góc DBC bằng 60 0) ⇒ ΔMBC