1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

đề thi HSG toán lớp 10 Bắc Giang năm 2013

5 1,8K 12

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 180,91 KB

Nội dung

Cho hình vuông ABCD.. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN.. Chứng minh HD vuông góc với HN.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam

Trang 1

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG

Cụm trường Lạng Giang

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ

Năm học: 2013 – 2014

Môn: Toán lớp 10 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (4 điểm) Cho hàm số ( ) 2

y= mxmx+ +m có đồ thị (Cm)

1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (−∞; 2)

2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn

1 2

2x − =x 2

Câu II (4 điểm)

1. Giải phương trình: 2 1 2 1

x

x

2. Giải hệ phương trình : ( ) ( )

1

x y y x x

x x y y



Câu III (4 điểm)

1. Giải bất phương trình: 2 2

2x − + +x 1 2x +4x+ ≥1 5 x

P

cos cot 3cos cot 2sin , với điều kiện xác định cho trước

Câu IV (6 điểm)

1. Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN Gọi H là hình chiếu của B trên CM Chứng minh HD vuông góc với HN

2. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu

( 2 2) ( 2 2)

sin 2 sin cos

0

b b a c c a

=





3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB

là M(3;1)

Câu V(2 điểm) Cho a b c, , là 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3

4

a + + ≤b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P 8abc 12 12 12

a b c

- HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

Trang 2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ

MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2013– 2014

-

Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng

1. Tìm m để hàm số ( ) 2

y= mxmx+ +m nghịch biến trên (−∞; 2) +Nếu m=1⇒ y= − +2x 3 nghịch biến trên ℝ Do đó m=1 thỏa mãn đề bài 0.5 + Nếu m≠1 Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) khi và chỉ khi

1 0

2 1

m

m m

m

− >

⇔ < ≤

 −

1.0

+ Kết luận 1≤ ≤m 2 là kết quả cần tìm 0.5

2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x th1; 2 ỏa mãn 2x1− =x2 2

+ (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

( ) 2

mxmx+ + =m có hai nghiệm phân biệt

2

1 0

m

− ≠



⇔

0.5

+ Theo Viet ta có 1 2 2 ; 1 2 2

+

Kết hợp với giả thiết 2x1− =x2 2, tính được

;

0.5

Từđó thu được:

7

2

m

m

= −

 =

+ Kết hợp điều kiện, kết luận m= −7 là kết quả cần tìm 0.5

Câu2

1 Giải phương trình: 2 1 2 1

1 3

x

x

+ Điều kiện: 1 3

1

x x

− ≤ ≤

0.5

+ Khi đó phương trình tương đương với

2 1( 1 3 )

2 1

2 2

x x

0.5

( ) 2

2 2

2

x x



0.5

Trang 3

+ Đối chiếu điều kiện và kết luận 2 7

2

2 Giải hệ ( ) ( )

1

x y y x x

x x y y



+ Hệđã cho tương đương với ( ) ( )

2

1

xy x xy y

xy x xy y



0.5

+ Đặt u=xy+x v; =xy+y, ta được

2

1

u v uv

 + =

=

Giải hệ thu được 1

1

u v

=

=

 hoặc

2 1 2

u v

= −

= −



0.5

+ Với 1

1

u v

=

=

1 1

xy x

xy y

+ =

⇒ 

+ =

2

+ Với

2 1 2

u v

= −

= −



2 1 2

xy x

xy y

+ = −

⇒ 

+ = −

ải được 5 1

2

x= =y

và kết luận

0.5

Câu 3 1 Giải bất phương trình: 2x2− + +x 1 2x2+4x+ ≥1 5 x

+Ta thấy x=0 không là nghiệm của bất phương trình, do đó bất phương trình

tương đương với:

2x 1 1 2x 4 1 5

Đặt t 2x 1 1,t 0

x

= + − > , ta được t+ t2+ ≥5 5

0.5

+Giải bất phương trình trên kết hợp với t>0, ta được t≥2 0.5

+ Từđó ta có 2x 1 1 2

x

+ − ≥ , giải bất phương trình với điều kiện x>0, ta được

5 17 0

2

5 17 2

x x

 < < −

 ≥ +

Kết luận

0.5

P

Ta có A=(sin4x+cos4x−1)(tan2x+cot2x+2)

sin cos 2sin cos 1 tan cot 2 = −2 sin( 4x+cos4x)−4sin cos2x 2x = − ( 2x+ 2x)2 = −

1.0

Trang 4

B=cos cot2x 2x+3cos2x−cot2x+2sin2x

=cos cot2x ( 2x+ −1 cot) 2x+2 sin( 2x+cos2x)

= xx+ =

x

2

1

sin

0.5

Câu 4 1. Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN

Gọi H là hình chiếu của B trên CM Chứng minh HD vuông góc với HN

+ Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông và α =MBH =BCH

H A

D

B

C

M

N

0.5

+ Ta có: HN HD =(HB+BN)(HC+CD)

=HB CD +BN HC (vì HBHC BN, ⊥CD)

0.5

= HB BA +BN HC

= −HB a .cosα +BN HC .cosα

0.5

= −BM a .cos2α +NB a .cos2α =0 (do BM=BN)

Do đó HBHD

0.5

2 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu

( 2 2) ( 2 2)

sin 2 sin cos

0

b b a c c a

=





+Từ sinA=2 sin cosB C chỉ ra tam giác ABC cân tại A 1.0 + Từ ( 2 2) ( 2 2)

0

b ba +c ca = chỉ ra tam giác ABC có góc A bằng 600 0.5

3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB

là M(3;1)

H

M K

A

C

B + Viết được phương trình đường thẳng AC: x-2y+4=0 và BK: 2x+y-2=0 0.5

Trang 5

+ Vì AAC nên A(2a−4;a), BBK nên B b( ; 2 2− b)

Từ M là trung điểm của AB suy ra A(4;4), B(2;-2)

0.5

+ Viết được phương trình BC:3x+4y+2=0 và kết luận 0.5

Câu 5

Cho a b c, , là 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3

4

a + + ≤b c Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P 8abc 12 12 12

a b c

1điểm

+ Áp dụng AM-GM ta có 12 4 4 12 4 4

a + ≥aa ≥ −a

Tương tự ta có: 12 4 4; 12 4 4

b ≥ −b c ≥ −c

Do đó P 8abc 4 4 4 12

a b c

0.5

+ Theo AM-GM, ta có: 8 1 1 1 4

2 2 2

abc

a b c

+ Chứng minh được 1 1 1 9

a+ + ≥b c a b c

+ +

Do đó

( 63 )

4 2

P

a b c

≥ +

+ +

0.5

+ Chứng minh được ( )2 ( 2 2 2) 9 3

3

a b+ +ca + +b c = ⇒a+ + ≤b c

Từđó suy ra MinP=25, đạt đươc khi 1

2

a= = =b c

0.5

Ngày đăng: 24/07/2015, 20:07

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w