Kẻ AM và AN là cỏc tiếp tuyến với đường trũn tõm O tại M và N.. c Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuụng gúc với MD cắt đường thẳng MP tại E.. Chứng minh P là trung điểm ME..
Trang 1www.VNMATH.com
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
MễN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm cú 01 trang ) Cõu 1 (2,0 điểm):
A = x 50 x + 50 x + x 50 với x 50 b) Cho x + 3 = 2 Tớnh giỏ trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 Cõu 2 (2,0 điểm):
a) Giải phương trỡnh
x 5x + 6 x 7x + 6 b) Giải hệ phương trình sau:
x + y + 4 xy = 16
x + y = 10
Cõu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là cỏc số nguyờn Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho 5
thỡ a4 b4 chia hết cho 5
b) Cho phương trỡnh 2
ax +bx+1 0 với a, b là cỏc số hữu tỉ Tỡm a, b biết x = 5 3
5 + 3
là nghiệm của phương trỡnh
Cõu 4 (3,0 điểm):
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trờn một đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Vẽ đường trũn tõm O thay đổi nhưng luụn đi qua B và C (O khụng nằm trờn đường thẳng d) Kẻ AM và AN là cỏc tiếp tuyến với đường trũn tõm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường trũn tại cỏc điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cựng nằm trờn một đường trũn
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường trũn tõm O thay đổi
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuụng gúc với MD cắt đường thẳng
MP tại E Chứng minh P là trung điểm ME
Cõu 5 (1,0 điểm):
Cho A =n 1
(2n +1) 2n 1 với n *
Chứng minh rằng: A + A + A + + A < 1 1 2 3 n
- HẾT -
Họ và tờn thớ sinh: ……… … Số bỏo danh ………
Chữ kớ giỏm thị 1 ……… Chữ kớ giỏm thị 2 ………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2www.VNMATH.com
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm
a)
1,0
điểm
Ta có :
2
2
A = x - 50 - x + 50 x + x - 50
A = x - 50 + x + 50 - 2 x - 50 x + x - 50
A = 2x - 2 x - 50 x + x - 50
A = 2 x - x + 50
A = 100 Nhưng do theo giả thiết ta thấy 2
A = x - 50 - x + 50 x + x - 50<0
A= -10
0,25
0,25
0,25
0,25đ
Câu 1
2,0
điểm
b)
1,0
điểm
x + 3 = 2 =>x 2 3(x2)2 3
2
4 1 0
B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013
B = 2013
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2
2,0
điểm a)
1.0
điểm
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình Với x0, phương trình đã cho tương đương với:
x 5 + x 7 +
Đặt t = x 7 + 6
x
phương trình trở thành
4 3 + =6 1 t 0; t 2 t+2 t
1 4t 3t 6 6t 12t 6t 5t 6 0
Giải phương trình ta được 1 2
t ; t
( thỏa mãn ) Với 1
3 t 2
2
x
Giải phương trình ta được 1 2
3
x ; x 4 2
( thỏa mãn )
0,25
0,25
0,25
Trang 3www.VNMATH.com Với 2
2 t 3
3
x
Giải phương trình ta được 3 4
23 313 23 313
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là :
3
x ; x 4 2
23 313 23 313
0,25
b)
1,0
®iÓm
x + y + 4 xy = 16
x + y = 10
Đặt S= x y ; P = xy ( S0;P0) hệ (I) có dạng
2
S + 4P = 16
S - 2P = 10
Giải hệ ( II) và đối chiếu điều kiện ta được S = 4
P = 3
Khi đó x ; y là 2 nghiệm của phương trình t2 – 4t + 3 =0 Giải phương trình ta được t1 = 3; t2 = 1
Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
x = 9 x = 1
;
y = 1 y = 9
0,25
0,25
0,25
0,25
a)
1.0
điểm
2
4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5
a 2ab b 5
a b 5
a b 5 ( Vì 5 là số nguyên tố)
0.25
0,25 0,25 0,25
Câu 3
2,0
điểm
b)
1,0
®iÓm
2
là nghiệm của phương trình nên ta có
2
31 8 15 4 15 1 0 15(8 ) 31 4 1 0
Vì a b, Q nên (8a b ), (31a 4b 1) Q
0,25
0,25 0,25đ
Trang 4www.VNMATH.com
Do đó nếu 8a b 0 thì 15 31 4 1
8
Q
a b
(Vô lí)
d K
E
D A
B
C M
N
P
Q
I
a)
1,0
®iÓm
I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O )
90
Ta có 0
90
AMO ( do AM là hai tiếp tuyến (O) ) 0
90
ANO ( do AN là hai tiếp tuyến (O) ) Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA
0,25 0,25 0,25 0.25
b)
1,0
®iÓm
AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác
MON mà ∆OMN cân tại O nên OAMN
∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì ANB=ACN= 1
2 sđ NB và
AN AC
∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 Suy ra AB.AC = AH.AO
∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì 0
AHK=AIO=90 và OAI chung )
AH AK
= AI.AK=AH.AO
AI AO AI.AK=AB.AC
AB.AC AK=
AI
Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định,
K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K
cố định
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
3,0
điểm
c)
1,0
PMQ=90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Xét ∆MHE và ∆QDM có MEH=DMQ ( cùng phụ với DMP ),
Trang 5www.VNMATH.com
®iÓm EMH=MQD ( cùng phụ với MPO ) ME MH
∆PMH đồng dạng với ∆MQH
2 1
2
ME = 2 MP P là trung điểm ME
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 5
1,0
điểm
n A
A
2n 1 2n 1 và 1 1 2
2n 1 2n 1 2n 1 nên
A
n
2n 1 2n 1 n
n
1 2 3
1
2 1
n
n
0,25 0,25
0,25
0,25 Hết