021 đề thi hsg toán 9 huyện gia lâm 2020 2021

UBND HUYỆN GIA LÂM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN : TỐN f  x  x3  ax  bx  c Câu 1.Cho đa thức a, b, c   Biết chia đa thức f  x  cho đa thức x  dư 5, chia đa thức f  x  cho đa thức x  dư  Tính giá trị biểu thức  a 2019  b2019   b2020  c 2020   c 2021  a 2021  Câu Giải phương trình sau : 3x3 b) x   2 x  x    a) x  x   x   n x3 n   1    1  f  n       10   10   Câu 3.Cho với n   * Tính f  n  1  f  n  1 Câu 4.Tìm số tự nhiên x, biết :  1 1 1                 x  1612 3 14 15   Câu 5.Cho số p p  số nguyên tố Chứng minh p  số nguyên tố Câu 6.Cho P điểm nằm hình chữ nhật ABCD cho PA 3cm, PD 4cm, PC 5cm Tính độ dài đoạn thẳng PB Câu 7.Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID-19 bệnh viện có bác sĩ bệnh nhân Biết nhiệt độ trung bình bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình bệnh nhân, trung bình hai số nhiệt độ trung bình tất bệnh nhân bác sĩ khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hay số bệnh nhân nhiều 2ab tan x  a  b , a  b  0  x  90 Hãy biểu diễn sin x Câu Cho theo a, b Câu 9.Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c 2020 Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 biểu thức P  2a  ab  2b  2b  bc  2c  2c  ca  2a Câu 10 Cho S tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất :Tổng hai phần tử tùy ý S số phương (Ví dụ S  5;20;44 S  10;5;90 tập hợp thỏa mãn điều kiện trên) Chứng minh tập hợp S có khơng q phần tử số lẻ ĐÁP ÁN Câu Gọi thương phép chia đa thức f  x  cho đa thức x  2, x  P  x  , Q  x  Theo đề ta có : f  x   x   P  x   (1), f ( x)  x  1 Q ( x)   2 Do với x nên : Thay x 2 vào (1) ta có :  4a  2b  c 5  3 Thay x  vào (2) ta có :   a  b  c    Từ (3), (4) suy 4a  2b  c a  b  c   3a  3b  a  b  a 2019  b 2019  a 2019  b 2019 0   a 2019  b 2019   b 2020  c 2020   c 2021  a 2021  0 Câu a) ĐK: x 1 Ta có : x  x   x   1 x    x   1    x 1  x 1 x   0  x  1  x 2(tmdk ) Vậy tập nghiệm phương trình : S  x   / x 2 b) ĐK: x 1 Ta có : 3x x   2  x  x    x3 3 x  x  x  3x  x   x x  2     x  1 x  x  1 x    x2  x2 x2 3x   2    x x x  x  1 3  x2   x2  3x  1    3.   x  x  1  x  1  x2  x2 x2   1 1   1  2  x  x  0(VN ) x x  x  Vậy phương trình vơ nghiệm Câu f  n  1  f  n  1   1     10   n 1 n 1 n   1  3 1  3 1           10   10   10   n      n        1   1         1      1 10      10              1     10   n 1 5   1     10   n n 1 n   1    1         f  n 10   10   Vậy f  n  1  f  n  1  f  n  Câu Tìm số tự nhiên x, biết :  1 1 1              x  1612  2 2 2  3 14 15   Ta thấy 2 n  n  1   n  1  n n  n   2n3  2n  2n 1 1    2 n  n  1 n  n  1 n  n  1 n   n  1 n  n  1 2 1 n2  n  1  1   1   n  n  1 n  n  1 n n 1 Áp dụng với n 2,3,4, ,14 ta có : 1 1 1         2 3 14 15 1 1 1 1 1 13 1             13   13 3 4 14 15 15 30 1 n 403x  x  1 13 x  x  1 1612  1612 30 60 Khi phương trình cho  x 15(tm)  x  x  1 240  x  x  240 0   x  15   x  16  0    x  16(ktm) Vậy x 15 Câu - Xét p 2 p  4  16( ktm) Vì khơng số ngun tố  13 - Xét p 3 p  9  11 tm  Vì 11 số nguyên tố 3 Suy p  3  29(tm) Vì 29 số nguyên tố Xét p  Vì p số nguyên tố nên p không chia hết cho (1) Mà p    p số phương (2) 2 Từ (1), (2) suy p chia cho dư  p  chia hết cho  3 2 Mặt khác, p   p   p   11  Từ (3), (4) suy p  hợp số (trái với đề bài) Vậy p 3 thỏa mãn toán Câu A B H D P ? K C Qua P kẻ đường thẳng HK / /CD, H  AD, K  BC  HK  AD, HK  BC Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng, ta có : PA2  PD  PH  HA2    PH  HD  HA2  HD PB  PC  PK  KB    PK  KC  KB  KC Ta chứng minh : HA KB, HD KC  PA2  PD PB  PC  PB PA2  PD  PC  PB 32  42  52 18  PB  18 3 2(cm) Câu Gọi số bác sĩ a (người)  a   * Nhiệt độ trung bình bác sĩ x (độ) Số bệnh nhân y (người)  y   * Nhiệt độ trung bình bệnh nhân y (độ)  y x  Theo đề ta có : x  y ax  by    x  y   a  b  2  ax  by  a b  ax  ay  bx  by 2ax  2by  ax  by  bx  ay 0   a  b   x  y  0 Mà x  y  a  b 0  a b Vậy số bác sỹ số bệnh nhân Câu B a2-b2 2ab A C 2 Vẽ tam giác ABC vng A có AC 2ab, AB a  b Khi số đo góc B số đo x Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC 2 ta có : BC  AB  AC  BC  AB  AC  Khi ta có : sin x  a 2  b   4a 2b  a 2  b   BC a  b 2ab a  b2 Câu Ta có :  2a  ab  2b  5  a  2ab  b    a  2ab  b  2 5  a  b    a  b  5  a  b   2a  ab  b   a  b   2a  ab  b   a  b   1 Dấu xảy a b Tương tự ta có :  b  c   2 2c  ac  a   c  a   3 2 2b  bc  c   b  c   2b  bc  c  2c  ac  a   c  a   Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có : P  2a  ab  b  2b  bc  c  2c  ca  a  Dấu xảy Vậy a b c   a  b  c  2020 2020 Min 2020  a b c  2020 Câu 10 Ta biết số phương chia hết cho 4, chia hết cho dư Xét tập S  a; b; c thỏa yêu cầu *) Nếu a, b, c số lẻ  a  b  4,  b  c  4  a  c  4 Khi a  b  b  c   a  c  2b4 , suy b số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ)  Nếu a, b số lẻ c chẵn  a  b  4,  b  c    a  c  4 Khi a  b   b  c    a  c  2b4  b số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ)