SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 18/3/2021 Câu (5,0 điểm) Câu (6,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 1) Tính tổng tất số nguyên x thỏa mãn x x a 0 với a số nguyên tố 2 x y y x z 1 2) Tính nghiệm tổng quát nguyên dương phương trình Câu (7,0 điểm) Trên đường tròn O lấy ba điểm A, B, C cho tam giác ABC nhọn Gọi AD, BE , CF đường cao tam giác ABC , đường thẳng EF cắt đường thẳng BC P Qua D kẻ đường thẳng song song với đường thẳng EF cắt đường thẳng AC AB Q R M trung điểm BC 1) Chứng minh tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh hai tam giác EPM DEM đồng dạng 3) Giả sử BC dây cung cố định không qua tâm O, A di động cung lớn BC đường tròn (O) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR ln qua điểm cố định Câu (4,0 điểm) ĐÁP ÁN Câu P 7 a a 3a : 1 3 a a 3 1) Ta có : 2 3 a1 5 a1 : 2) Điều kiện : x y z Ta có z y y x x 2 y x 3 z y z 17 x 4 x 0 y 8 (tmdk ) z 17 Câu 1) Điều kiện x3 0 x 7 Ta có : x x 6 x x 22 x x x3 6 x3 x 22 3 Đặt t x 0 x t Phương trình trở thành : t 2 x x t 3 t x 22 t x 1 3t 1 0 t 31 t x3 x 3 ta được: Th1: Th2: t 2 x 1, ta : x t x 2 x x 1 x x 3 0 t 31 13 S ;1; Vậy x 1 x 1 13 2) Nếu x 0 , tính y 0 Nếu y 0 x 0 Do (0;0) nghiệm hệ phương trình cho Với x, y 0 Ta có : x2 2 xy y 2 xy 3x 2 y 2 x2 y2 x y y x xy y a ;b y x x Đặt ab 3a 2 1 ab b Hệ phương trình trở thành b 3a b 3a Thay b 3a vào (1) ta có : a 3a 3a 2 Tìm a 1, a x2 y 1 x Th1: a 1, b y y 1 x x2 23 y 3 x a b y y 3 x Th2: Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 1) Từ giả thiết suy a x x hay a x x 1 mà x; x hai số nguyên liên tiếp nên a số chẵn Mặt khác a số nguyên tố nên a 2 Khi ta : Câu Câu