SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP Năm học 2020-2021 Mơn : TỐN –Ngày thi : 18/03/2021 Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5,0 điểm) 1) Giải phương trình x x x x 2 2b c 4 a , b , c a 2) Cho số thực thỏa mãn Chứng minh phương trình : ax bx c 0 ln có nghiệm Bài (6,0 điểm) x Tìm nghiệm nguyên phương trình y x y x y Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn từ 69 số số cho chúng có số tổng số lại Bài (4,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, nửa đường tròn (O) lấy điểm C cho cung BC nhỏ cung AC, qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB D Kẻ CH AB H AB , BK CD K CD , CH cắt BK E a) Chứng minh BK BD EC b) Chứng minh BH AD AH BD Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A M điểm di động BC ( M khác B, C ) Hình chiếu M lên AB, AC H , K Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh đường thẳng IM qua điểm cố định Bài (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x để x 2 x x 4 x x 3x x 30 ĐÁP ÁN Bài x 0 x x 0 x x 0 Điều kiện x 0 x x 0 2 x x vơ nghiệm Do biến đổi phương trình Ta có sau : x x x x 2 x x 2 * x x2 * x x x x 0 x x 1 0 x x 0 x 1 x x 1 x 1(tmdk ) x x x Vậy nghiệm phương trình x 1 2b c b 4ac b ac b 2bc c b c 0 a Ta có với b, c Vậy phương trình cho ln có nghiệm Bài x 1) Ta có : y x y x y 3x y x y xy 3xy y 0 y 0 2 y y x 3x y 3x x 0 2 y x 3x y 3x x 0 3 Với y 0 x x với x Do trường hợp phương trình có vơ số nghiệm ngun x; y k ;0 với k Với y x x y x x 0, ta có y x x3 x 24 x x x x 1 x 8 3x x 4 Th1: x phương trình có nghiệm kép Th2: x Để phương trình có nghiệm ngun số phương, suy x x a a x a x a 16 y Lập bảng, tìm x; a 9; 3 , 8;0 , 9;3 , 1;3 , 0;0 Do x 1;0;8;9 y ) x y ) x 8 y 10 ) x 9 y 21 Vậy nghiệm nguyên phương trình : x; y 1; 1 ; 8; 10 ; 9; ; 9; 21 ; k ;0 k ) x 0 y 0 2) Giả sử 69 số a1 a2 a3 a69 100 Suy a1 32; a3 3 a2 2 Khi suy 4 a1 a3 a1 a4 a1 a69 132 1 ; dãy có 67 số hạng 1 a3 a2 a4 a2 a69 a2 98 : dãy có 67 số hạng Do dãy (1) dãy (2) có 134 số hạng nhận giá trị từ đến 132 (có 132 giá trị) Theo nguyên tắc Dirichlet suy có số hạng giá trị Giả sử a1 am an a2 (với m, n 69 m, n *), suy a1 a2 am an Vậy từ 69 số nguyên dương phân biệt không vượt 100 chọn số cho chúng có số tổng số lại Bài C K A O B H D I E a) Tam giác CDE có BH CE , EK CD B trực tâm CDE BC ED 1 Ta có : HAC HCB (cùng phụ với ABC ) HAC BCD (cùng chắn cung BC ) BCD HCB Suy BC tia phân giác CDE Từ (1) (2) suy CDE cân C BC đường trung trực ED BE BD Khi BK BD BK BE EK EC (vì EKC vng K) b) Gọi I giao điểm BC , DE Ta có : BH AD BH AB BD BH AB BH BD BH AB BC (do ABC vuông C CH đường cao) BH BD BI BC BHC ∽ BID BH AD BH AB BH BD BC BI BC BC BC CI CB.CI Suy Ta có : AH BD AC.ID Do AHC ∽ BID AC.ID CB.CI ( Do ABC ∽ CDI ) Từ (3), (4), (5) BH AD AH BD Bài D B M H E I A F K C Dựng hình vng ABCD Gọi E giao điểm HM CD; F giao điểm DM AC Vì BHM vng cân H; MKC vuông cân K tứ giác AHMK hình chữ nhật nên : BH HM AK CK MK AH Chứng minh BDH ABK (c.g.c) BHD AKB Lại có AKB ABK 90 , nên BHD ABK 90 BK HD 1 Tương tự, chứng minh CH DK Từ (1), (2) I trực tâm DHK DI HK * Ta có : ME / / AC nên DME DFC (so le trong) (3) Vì AHMK hình chữ nhật, CEMK hình vng nên HA MK ME CK CE Lại có CD CA nên CA CK CD CE AK DE Khi AHK EMD(c.g c) AHK DME Từ (3), (4) suy AHK DFC mà AHK AKH 90 nên DKC AKH 90 Do DM HK ** Từ (*) (**) suy D, I , M thẳng hàng, mà D điểm cố định Do đường thẳng IM qua điểm cố định Bài Điều kiện : x 4 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có : x 2 x x x x 24 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2 4 x 1 1 x 1 7 x 4 x 2 x x 2 27 x3 27 x x x x3 27 Cộng vế theo vế ta : x 1 x 27 30 4 Do bất phương trình cho ln với x 4 Vậy nghiệm bất phương trình x 4 x 2 x x 4 x x x x 1