111Equation Chapter Section 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 03 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN – LỚP Ngày thi : 06/3/2021 Thời gian làm : 120 phút I.Phần trắc nghiệm (6 điểm) Câu 1.Nghiệm phương trình 1 1 1 x 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 : 1.51 2.52 3.53 A.x 5 B.x 4 C.x 7 D.x 9 a 16 a a 1 M S a a a a Câu 2.Cho tập hợp giá trị nguyên a để M nhận giá trị nguyên Tập S có tất tập ? A.3 B.8 C.4 D.2 O Câu 3.Cho đường trịn tâm bán kính R điểm A cho OA 3R Đường thẳng qua A cắt đường trịn hai điểm B, C Tính AB AC A AB AC 5R B AB AC 2 R C AB AC 8R D AB AC 3R Câu 4.Có cặp số x, y với x 0, y thỏa mãn phương trình x y 3x xy A.1 B.2 C.0 D.4 Câu Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH H BC ; AB 2, AC 3CH Diện tích tam giác ABC : 3 A.3 B.2 C D 2 2x A x nhận giá trị nguyên Câu Có giá trị x nguyên để biểu thức A.1 B.2 C.3 D.4 Câu 7.Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng y m x m (với m tham số) Giá trị lớn OM ; A.5 B.3 Câu 8.Cho biểu thức f a A.1 C.4 f x x x 2021 D.2 3 Biết a 17 17 , giá trị B C.0 D Câu 9.Biết điểm M x0 ; y0 điểm mà đường thẳng y m x 2m qua 2 với m Giá trị biểu thức A x0 y0 : A B.20 C.6 D.4 y m 1 x Câu 10.Cho hai hàm số y 2 x m Tìm tham số m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song A.m 1 B.m 1 C.m 2 D.m Câu 11 Cho tam giác ABC có đường phân giác AD D BC cho BD a, CD b, a b Tiếp tuyến A đường tròn qua điểm A, B, C cắt BC M Độ dài MA tính theo cơng thức sau ? 2ab 2ab ab 2ab A.MA B.MA C.MA D.MA a b a b a b 2a b 2 x y 4 mx y n Câu 12.Tìm hai tham số m, n để hệ phương trình có vơ số nghiệm A.m 2, n B.m 2, n 6 C.m 2, n D.m 2, n 2 Câu 13.Cho ba số x, y , z cho x 1, y 2, z 3 Giá trị lớn yz x xz y xy z 1 a, b, c xyz a b c Tổng a b c : A.22 B.18 C.20 D.19 m 1 x my 2m mx y m Câu 14.Cho hệ phương trình (với m tham số) có nghiệm x0 ; y0 Giá trị lớn x0 y0 : P D 13 x y x y 1 Câu 15 Cho hệ phương trình x y x y có nghiệm x0 ; y0 Tính y0 x0 : A y0 x0 4 B y0 x0 2 C y0 x0 D y0 x0 3 Câu 16.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Giả sử AB 6cm, BH 4cm Tính BC A.10cm B.BC 9cm C.BC 10,5cm D.BC 8 2cm Câu 17.Phương trình x x có nghiệm A A.4 C B.2 C.1 B D.0 Câu 18.Cho đường tròn O; R hai điểm A, B cố định nằm ngồi đường trịn cho R OC OA 2 R Điểm C nằm đoạn thẳng AO cho điểm M thay đổi đường tròn Giá trị nhỏ MA 2MB A.BC B.4 BC C.3BC D.2 BC Câu 19.Cho đường tròn tâm O có bán kính OA R, dây cung BC vng góc với OA trung điểm M đoạn thẳng OA, kẻ tiếp tuyến với đường tròn B, tiếp tuyến cắt OA E Độ dài đoạn thẳng BE : R A.3R B.R C R D Câu 20.Cho hàm số y 0,5 x 3; y 6 x; y mx có đồ thị đường thẳng d1 , d , m Với giá trị tham số m m cắt d1 , d hai điểm A, B cho A có hồnh độ âm, B có hồnh độ dương ? A 0,5 m B m 0,5; m 0 C m 0,5 II.TỰ LUẬN Câu (5,5 điểm) D 0,5 m 1, m 0 A 3x x x x x 1 x x 0 x x x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Cho đường thẳng d : y ax b a 0 qua M 1;4 cắt Ox điểm A có hồnh độ dương, cắt Oy B có tung độ dương Tìm giá trị nhỏ P OA OB Câu (3,5 điểm) 2 x x 11 x x 3 Giải phương trình : Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn a b số nguyên tố 3c ab bc ca Chứng minh 8c số phương Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC AB BC CA ngoại tiếp đường tròn tâm I Lấy E , F đường thẳng AC , AB cho CB CE BF đồng thời chúng nằm phía với A so với đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G a) Chứng minh bốn điểm C , E , I , G nằm đường tròn b) Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG AF đồng thời H nằm khác phía với C so với đường thẳng BG Chứng minh EHG CAB Câu (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh : 1 xy x y yz y z zx z x ĐÁP ÁN I.TRẮC NGHIỆM 1A 2B 3C 4A 5D 6B 7A 8D 9B 10D 11C 12C 13A 14A 15B 16B 17D 18D 19C 20C II.TỰ LUẬN Câu 1 a) Rút gọn biểu thức A x x 1 x x 3 x x x x 2 x 1 x x 1 x A 3x x x1 x 1 x 2 x1 Với x , để A x 1U (2) 2; 1 x 0;4;9 M d a b 4 b 4 a b) A 1 b )d Ox A ;0 , d Oy B 0; b b 0, a a b 4 a 4 )OA OB b a a 9 a a a a a a b 6(tm) Dấu xảy a Vậy giá trị nhỏ P Câu 1.7 x x 11x 1 x x x 11x 1 x 0 x x 10 x x x x 1 x 0 x 0 x x x x x x 0 x x2 5x x x x 5 x x 1 )2 x x PTVN x x 11 x 0 ) x 5 x x x 8 2) Ta có : 4c c ab bc ca c a c b d 1 d c a, c b , c a c b a bd (do a b d a b Gọi số nguyên tố) Th1: d 1 c a c b nguyên tố nên c a x , c b y x; y nguyên dương) 2 Nên a b x y x y x y số nguyên tố nên x y 1 x 1 y 4c c a c b x y 2c xy y y y y 8c 4 y y y 1 số phương Th2: d a b c a a b x; c b a b y , với x, y nguyên dương nguyên tố a b c a c b a b x a b y x y x y 2 Ta có: 4c c a c b a b xy xy y y 1 số phương Mà y; y hai số tự nhiên liên tiếp nên y 0 (vô lý y nguyên dương) Câu F A H G E N M I B C a) Gọi BI CE N , CI BE M , IBE cân I IEB IBM 1 IBM BIM 90 IBM ICN ICN CIN 90 Từ (1) (2) suy IEB ICN ICG GEI 180 tứ giác CIEG tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giác AFCI nội tiếp 180 ABC BAC BCA AFC IAC ICA 180 AIC 2 (Vì Chứng minh tứ giác AEIB nội tiếp (vì EAI IFC ICF IBE ) Do tứ giác CIEG AFCI nội tiếp, nên EGI ECI AFI Hơn nữa, IAB IEB nên GEI FAI GEI ∽ FAI EG EG AF HG AF AI BI EI AI GE GE BI Suy Nhưng HGE AEB AIB HGE ∽ AIB CAB EGH BAI Từ suy Câu Ta chứng minh x y 1 3 xy x y với x, y Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : x y xy x y 6 xy x y 2 x y x 1 y 1 Dấu " " xảy x y 1 Do xy x y x y , với x, y Dấu " " xảy x y 1 Tương tự ta suy 1 3 xy x y yz y z zx z x x y y z z x Dấu " " xảy x y z 1 1 1 , m n p m n p Ta chứng minh với m, n, p Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : n p m p m n 9 m m n n p p n m p m p n 6 m n m p n p Theo bđt Cô si ta thấy bất đẳng thức Dấu " " xảy m n p Do : 3 2 x y 1 y z 1 z x 1 2 x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Dấu " " xảy x y z 1