De thi va dap an HSG Toan 9 tinh Bac Giang 20152016

3 Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng lần lượt bằng 4 và 3 cho 49 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN - LỚP Ngày thi: 20/ 3/ 2016 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu ( 6,0 điểm)  a  A  a  1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ A 2) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm a a2 :  a  2 a  a   a  1, a    a  2 a   a  2 phương trình x  x  0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức B x1  x2  x1  x2  2008 Câu ( 4,0 điểm) 1) Giải phương trình x  10 x  92   x  70   x  x  16  0  y  x  x  1  x    x  3 121   y   x  2) Giải hệ phương trình  Câu ( 3,0 điểm) x x x, y 1) Tìm tất các cặp số tự nhiên  cho  12 y   3 Chứng minh số 2016   2  2016 2) là số chẵn ,0 Câu ( điểm) 1) Cho hình vuông ABCD Gọi M , N là hai điểm nằm trên đoạn AC cho AC 3 AN 4 AM Hai đường thẳng DM và DN cắt AB P và Q Chứng minh: a) Hai tam giác AMP , AQN đồng dạng, từ đó MNQP là tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN O; R  I; r R  r 2) Cho hai đường tròn  và   tiếp xúc ngoài điểm P ,  Hai tiếp tuyến O chung ngoài AE , BD hai đường tròn cắt C ( AE , BD không qua P ; A, B thuộc   và D, E thuộc  I  ) Tính số đo góc ACB biết DE 2cm; AB 6cm 3) Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng và cho 49 điểm, đó không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác có các đỉnh thuộc 49  điểm trên mà diện tích nhỏ Câu ( 1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn x 2 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ 3 x 6 x T   x 3 x biểu thức HẾT -Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: Giám thị (Họ tên và ký) Giám thị (Họ tên và ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 20/ / 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN - LỚP (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Câu Hướng dẫn giải Điểm a) a    a  2 a  A  1.1 (4.0 điểm) a2  a a    a  2 a  1  a2  a a  a  a   a2    a  a   a   a   : a : a 2  a   a  a  a  a2  1.0 0.75 0.75 a2  b)  15 15  a    a      ; 2 4  15 a2 - = × A đạt giá trị nhỏ là và A  a2   a2   a2    17 a= × Giải Chứng minh phương trình có nghiệm và theo Vi-et ta có x1 + x2 = 0.75 0.75 0.5 1.2 (2.0 điểm) B x13  x22  x1  x2  2008 x13    x1   x1    x1   2008 x13  x12  x1  2016 0.75 Mà x1 là nghiệm phương trình x  x  0 nên B x1  x12  x1    2016 2016 0.75 +) Điều kiện x ³ - 70 0.25 Câu 2 v = x + 70,(u > 0;v ³ 0) +) Đặt u = 2x + 4x + 16 ; 2 Suy 3u - 2v = 6x + 10x - 92 2.1 (2.0 điểm) +) Phương trình đã cho trở thành Û 3u - 2v = Û 3u = 2v 3u2 - 2v2 + uv = Û ( 3u - 2v) ( u + v) = Từ đó ta có 2x + 4x + 16 = x + 70 - 34 x= Giải x = Kết luận 0.5 0.5 0.25 0.5  y  x  x  1  x    x  3 121 (1)  (2)  y  x Từ phương trình (2) ta suy x ³ 2.2 (2.0 điểm) 0.5 x  x x  1  x    x  3 122  Thay y x  vào (1) ta Xét £ x < VT(3) <122 Xét x > VT(3)>122 Với x = ta có VT(3)=122 Suy ( 2;1) và ( 2;- 1) Vậy hệ có hai nghiệm (3) 0.75 y = 1;y = - 0.75 Câu Nhận xét x =1 không thoả mãn phương trình Khi đó x ³ Từ phương trình ta thấy y lẻ ( ) 5x º mod8 12x M8 y2 Vì , chia cho dư với y lẻ nên , dẫn x chẵn Đặt 3.1 (1.5 điểm) ( x = 2k k Î ¥ * ) , thu phương trình 2k ( )( = y - 12k y + 12k ) ìï y + 12k = 52k- m ï í ïï y - 12k = 5m m Î ¥, m < k Do nguyên tố nên tồn cho ïî Suy ( 0.5 0.25 ) 2.12k = 5m 52k- 2m - k m Do 2, 12 nguyên tố cùng với mà 2.12 M5 nên m = và ta y = 12k + 0.25 ( ) 52k + 122k = 12k + Þ 2.12k = 25k - ( *) Thay vào phương trình ta k ³ thì 25k - > 24k = 2k.12k > 2.12k (loại) x = 2, y = 13 k = thoả mãn, tìm ( x;y) =( 2;13) Vậy phương trình có nghiệm 3.2 (1.5 điểm) Đặt n    Sn     Kiểm tra S1, S2 0.5  n 0.5 là các số tự nhiên chẵn ( ) ( ) é ùé ù = ê( + 3) +( - 3) úê( + 3) +( - 3) ú ê ú û ë ûë é ù - ( + 3) ( - 3) ê( + 3) +( - 3) ú ê ú ë û Sn+1 = + n+1 + 2- n n+1 n n- n- 0.5 = 4Sn - Sn- ( " n ³ 2) Do S1, S2 là số chẵn nên S3 chẵn S2, S3 chẵn nên S4 là số chẵn 0.5 Lập luận lại quá trình trên ta S2016 là số chẵn Câu C B Q P N M A D a) Đặt AB = a 0.5 AM AP = = CD Ta có D MAP , D MCD đồng dạng nên MC AC a AB a = ;AP = = 4 3 AN AQ = = CD Ta có D NAQ, D NCD đồng dạng nên NC Þ AM = 4.1 (3.0 điểm) a AB a Þ AN = ; AQ = = 2 AP AM = AQ suy hai tam giác D AMP , D AQN đồng dạng Từ đó ta có AN · · Suy AMP = AQN Þ MNQP nội tiếp 3 2 CM = AC = a 2;CN = AC = a 4 3 b) Ta có 2 0.5 0.5 0.5 0.5 Suy CM CN = a = CB = CD Kết luận: BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN 0.5 A E O P I H C D 4.2 (2.0 điểm) B a · · HDB = BCO = · Kẻ DH / /CO Gọi ACB = a ta có a HB R- r sin = = HD R +r Trong tam giác vuông HBD có OAB;IED Khẳng định hai tam giác a sin = 2 suy a = 600 Vậy 4.3 (1 điểm) 0.5 0.5 0.5 ´1 Chia hình chữ nhật 4´ thành 24 hình chữ nhật , hình chữ nhật có × diện tích là 0.5 ´1 Vì có 49 điểm nằm 24 hình chữ nhật nên tồn hình chữ nhật chứa ít điểm 49 điểm đã cho × Tam giác có ba đỉnh là điểm nằm hình chữ nhật này có diện tích nhỏ 0.5 Câu (1.0 điểm) R AB = = Þ R = 3r DE đồng dạng nên r 0.5 Biến đổi biểu thức +) Vì T 3 x 6 x  2   x 3 x 3x - x 0.25  x 2  3x  x  x   x    3 9 3x  x    x    T 2  2  6   2 suy 3x - x Mặt khác x= Dấu 9 13 T 2  2    x  x 2   x  1   x  2 3x - x 2 Ta lại có suy Dấu x = x = 2 13 Kết luận: GTLN T x = x = 0.25 0.25 0.25 GTNN T x= Lưu ý chấm bài: Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì điểm theo thang điểm tương ứng