PHÒNG GDDT TIỀN GIANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2020-2021, MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút Câu (4,0 điểm) 3 1) Cho biểu thức A 80 80 Chứng minh A số nguyên tố 2) Cho 31 số nguyên a1 , a2 , , a31 a) Chứng minh a1 a1 chia hết cho 3 b) Biết a1 a2 a31 chia hết cho Chứng minh a1 a2 a31 chia hết cho 3) Tìm tất số tự nhiên n cho n n số nguyên tố Câu (6,0 điểm) 1) Cho a, b hai số thực dương ab 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P a b a b 2 2) Giải phương trình 5 x 3 x x x 3) Cho phương trình m 3 x 2m 0 (m tham số thực) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt cho hai nghiệm giá trị độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có đội dài đường cao ứng với cạnh huyền (đơn vị độ dài) Câu (4,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : y x m m 3 Gọi A, B giao điểm đường thẳng d với trục tọa độ Ox, Oy Tìm m để diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác OAB 8 (đơn vị diện tích) 2) Sau đợt tổng kết phát thưởng cho vận động viên đạt giải Hội Khỏe Phù Đổng cấp Tỉnh trường X, tổng số tiền phát thưởng 23 triệu đồng, huy chương vàng (HCV) triệu đồng , huy chương bạc (HCB) triệu đồng huy chương đồng (HCĐ) triệu đồng Tính số vận động viên đạt HCV , HCB, HCD , biết tổng số vận động viên đạt HCB HCĐ không người Câu (2,0 điểm) Cho hai số thực a, b cho a b ab 0 thỏa mãn : 2 a b ab 2020a 2021b a b 4a M a ab a ab a b Tính giá trị biểu thức 31a 3b3 Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường trịn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn O B, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AMN với đường tròn (O) M nằm A N Gọi E trung điểm NM a) Chứng minh năm điểm A, B, E , O, C thuộc đường tròn b) Tia CE cắt O I Chứng minh tứ giác BINM hình thang cân c) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp ĐÁP ÁN Câu 1) A 80 80 A3 9 80 80 3 80 80 9 80 80 A3 18 A A3 A 18 0 A 3 A 3 A2 A 0 A 3 A A 0( VN ) Vậy A số nguyên tố 2) a) Ta có: a13 a1 a1 a12 1 a1 a1 1 a1 1 Có a1 1 ; a1; a1 1 ba số nguyên liên tiếp a1 a1 1 a1 1 6 a1 a1 6 b) Ta có : a a23 a31 a1 a2 a31 a13 a1 a23 a2 a313 a31 6, mà a1 a2 a31 chia hết cho 3 Vậy a1 a2 a31 chia hết cho 3) Ta có n n n n 1 n n 1 n n n 1 n 0 n n 1 n 1 Để n n số nguyên tố n 1 n n 3(tm) n 0 n n 1(ktm) n n n 3(tm) Vậy n 1 n n n số nguyên tố chia hết cho Câu 1 a b a b P 2 a b a b ab a b a b 1) Ta có : a b , ab 4 a b 2 a b Dấu " " xảy 2) ĐK: x 5 2 5 x 3 x x x 1 3 x x 1 x x 1 x 0 3 3 x Do x 5 nên x 1 3 x 0 3 x 3 x 2, x 0 3 x x 0 x 2 3 x x 2 , dấu x 5 Vậy tập nghiệm phương trình S 1;5 3) Ta có m 3 2m 0, suy phương trình ln có nghiệm x 1 nghiệm x 5 2m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m 1 m 2 Vì hai nghiệm hai cạnh tam giác vng có đường cao có độ dài nên 5 2m 1 2 m (tm) 2m Vậy m Câu 1) Vì A giao điểm đường thẳng d với Ox nên A m;0 Vì B giao điểm đường thẳng d với Oy nên B 0; m 3 AB m 3 Vì tam giác OAB tam giác vng O nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB R AB 2 m 3 2 Để diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác OAB 8 R 8 m 4 m 7 R 8 m 3 16 (tm) m m Vậy m 7 m thỏa mãn đề 2) Gọi số vận động viên đạt HCV x Gọi số vận động viên đạt HCB y Gọi số vận động viên đạt HCĐ z x, y, z * 23 x 5 x y z 23 5 x 23 x 4 y z 23 x 19 x Ta có : Khi y z 3 y z 1 Vậy có vận động viên đạt HCV, vận động viên đạt HCB, vận động viên đạt HCĐ Câu 2 a b a b 4a a b a b2 a b a b2 4 2 a ab a ab a b a ab a a ab a Ta có: Đặt a b a2 x 1 x Suy Câu 2 2 a b 4 a2 2 b b 4 * a a b x 1 a , suy (*) trở thành 21 x M x 1(ktm) 4 3x x 0 x (tm) a 3b 3b.b 2020.3b 2021b 8081 31.27.b3 3b3 280 B I N E M A H O C a) Chứng minh năm điểm A, B, E , O, C thuộc đường trịn Ta có : OBA OCA 90 AB, AC tiếp tuyến O ) Mà OEA 90 E trung điểm dây MN ) B, C , E nằm đường trịn đường kính OA A, B, C , O, E nằm đường tròn b) Tia CE cắt O I Chứng minh tứ giác BINM hình thang cân A, B, C , O, E nằm đường tròn ABEC tứ giác nội tiếp ABC AEC (2 góc nội tiếp chắn dây AC ) sd MB ABC sd BC sd MC 2 Mà (là góc tiếp tuyến dây BC ) sd MC AEC sd IN (góc có đỉnh bên đường trịn) Vì ABC AEC sd MC sd MB sd IN sd MC sd IN sd MB MI NB MI NB BIC ABC sd BC BIC AEC Ta có : (hai góc vị trí đồng vị) BI / / AM tứ giác MBIN hình thang mà NB MI tứ giác MBIN hình thang cân c) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp Xét hai tam giác ABM ANB có: BAM chung, ABM ANB (cùng chắn cung BM ) ABM ∽ ANB g.g AB AM AB AM AN AN AB mà AB AH AO ABO vuông B có đường cao AM AH AO AN Xét hai tam giác AMH AON có : AM AH cmt MAH chung, AO AN AMH ∽ AON (c.g c) AHM ANO Xét tứ giác MHNO có AHM ANO Vậy tứ giác MHNO tứ giác nội tiếp (góc ngồi góc đỉnh đối diện) BH ) AM AN AH AO