Vậy phơng trình có duy nhất nghiệm x =1 Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phơng 2 vế, nhng khi biến đổi ph/tr sẽ có phép biến đổi không tơng đơng nên nếu thí sinh không thử lại trớc kh[r]
(1)kú thi häc sinh giái cÊp tØnh líp n¨m häc 2012-2013 sở giáo dục và đào tạo bắc Giang §Ò thi chÝnh thøc m«n : To¸n Hä vµ tªn, ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1: Ngµy thi : 31/2/2013 Thêi gian lµm bµi : 150 phót (không kể thời gian giao đề) ……………… ……………… (§Ò thi nµy cã 01 trang) Bµi x x2 Rót gän biÓu thøc M = x x víi x , x < - Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x x 1 Bµi Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đờng thẳng (dm) xác định phơng trình: (m-1)x + (m+1)y = 2(m 1) víi m lµ tham sè TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm gèc to¹ độ O đến đờng thẳng (dm) Bµi Cho đờng tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R) Điểm A di chuyển trên cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ các đờng cao BD và CE cña tam gi¸c ABC, chóng c¾t t¹i H Chøng minh: CH.CE + BH.BD = BC2 Chứng minh đờng thẳng qua A và vuông góc với DE luôn qua điểm cố định Bµi Tìm tất các số nguyên dơng x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện : x + y + z > 11 vµ 8x + 9y + 10z = 100 Bµi T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + víi x HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh …………… ………….………………………………… SBD ……………………… híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh m«n to¸n líp n¨m häc 2012-2013 Bµi S¬ lîc lêi gi¶i Cho ®iÓm (2) Bµi 3,5 ®iÓm Víi x < -3, cã: x+3 + x = ( x 3) ( x 3) + ( x 3) x = ( x 3) ( ( x 3) + x ) vµ 6-2x + x = … = x (2 x + ( x 3) 1,0 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® ) Từ đó suy M = ( x 3) / x hay M = ( x 3) /( x 3) Bµi 3,5 ®iÓm 3 §Æt x = a, x = b, ta cã hÖ: a - b = 1; a3 - 2b3 = Giải hệ trên, tìm đợc b = 0, a = Từ đó tìm đợc nghiệm x =1 Vậy phơng trình có nghiệm x =1 Chú ý: HS có thể giải bẳng cách lập phơng vế, nhng biến đổi ph/tr có phép biến đổi không tơng đơng nên thí sinh không thử lại trớc kết luận nghiệm ph/tr đã cho thì trừ 1,5 điểm Bài * Với m = 1, (dm) có ph/trình y = => là đờng thẳng // với Ox, cắt Oy điểm điểm có tung độ y = => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = * Với m = -1, (dm) có ph/trình x = -1 => là đờng thẳng // với Oy, cắt Ox điểm có hoành độ độ x = -1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = 1,0 ® 2,0 ® 0,5 ® 1,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® * Với m 1, tìm đợc (dm) cắt Ox điểm A( 2(m 1) /(m-1); 0) và cắt Oy t¹i ®iÓm B(0; ( 2(m 1) /(m+1)) Trong OAB vuông O, kẻ đờng cao OH, có OA= 2(m 1) /(m-1) , OB = 2(m 1) /(m-1) , 2 d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/ OA OB từ đó tính đợc OH = với m 1 VËy OH = víi mäi m 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® Bµi 4.1 Gäi K lµ giao cña AH víi BC, suy AK BC vµ K ë gi÷a B vµ C 2,5 Chứng minh đợc: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC ®iÓm Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK) = BC2 0,5 ® 1,5 ® 0,5 ® Bài 4.2 Kẻ Ax là tiếp tuyến với đờng tròn (O; R) A 2,5 Cã ∠ ABC = ∠ EDA; ∠ ABC = ∠ CAx ®iÓm => ∠ EDA = ∠ CAx => Ax // ED đó đờng thẳng At qua A và vuông góc với DE phải vuông góc với Ax suy At qua tâm O đờng tròn (O; R) là điểm cố định (đpcm !) 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® Bµi S¬ lîc lêi gi¶i Cho ®iÓm (3) Bµi Cã: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100 => x+y+z < 100/8 < 13 ®iÓm cïng víi gi¶ thiÕt, cã 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z Z => x+y+z = 12 Ta cã hÖ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2) Nhân vế (1) với trừ vế-vế (2) cho (1), đợc: y+2z = (3) Tõ (3) suy z = (v× nÕu z ≥ th× y ≥ => y+2z ≥ 4, m©u thuÉn) Với z = 1, tìm đợc y = và x = Thử lại, thấy đúng Vậy có x = 9, y = và z = thoả mãn 0,5 ® 0,25 ® Bài Biến đổi đợc F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + = (x2 - x + 1)2 +1 ®iÓm = ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + víi x Do (x-(1/2))2 víi x =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)2 25/16 víix 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® F(x) = 9/16 x = 1/2 VËy F(x) nhá nhÊt = 25/16 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® C¸c chó ý chÊm: Híng dÉn chÊm nµy chØ tr×nh bµy s¬ lîc mét c¸ch gi¶i Bµi lµm cña häc sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác đợc điểm tối đa Các cách giải khác đúng cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu phần đó Cã thÓ chia nhá ®iÓm thµnh phÇn nhng kh«ng díi 0,25 ® vµ ph¶i thèng tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không lµm trßn Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Bắc Giang H×nh vÏ bµi 4: A E x D O B H K C (4)