032 đề thi hsg toán 9 tỉnh đắc lắc 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮC LẮC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút Bài (4,0 điểm) x 5 x   x 0     x 4  x  x  x  x    1) Cho biểu thức Tìm tất giá trị nguyên x cho biểu thức A nhận giá trị nguyên A 2) Cho phương trình x   2m  3 x  m 0 với m tham số Tìm số m để phương 2 trình có hai nghiệm x1 , x2 cho x1  x2 9 Bài (4,0 điểm) 1) Cho parabol  P  : y x đường thẳng  d  : y x  b Tìm b để đường thẳng  d  OI  13 (với I trung điểm AB) cắt  P  hai điểm phân biệt A, B cho x   x  1  x   15  x  1 2) Giải phương trình :   Bài (3,0 điểm) 2 1) Tìm tất cặp số nguyên dương  x, y  thỏa mãn : x  3xy  y  0 2) Cho x, y, z số đôi khác Chứng minh 5  x  y    y  z    z  x  chia hết cho  x  y   y  z   z  x  Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE , CF ABC cắt H 1) Chứng minh FA AB  AE AC 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF 3) Giả sử ACB 60 Chứng minh EF  BF  3CF Bài (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có BAD 60 , BCD 120 , tia phân giác DAB cắt BD E, tia phân giác BCD cắt BD F 1 1      Chứng minh : AB BC CD DA AE CF Bài (2,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu 1  3x y P  x  y xy thức ĐÁP ÁN Bài 1) Với x 0, x 4 Ta có : A    x  x  10  x    x 1 x         x 1  x x x Để biểu thức A nhận giá trị nguyên   x  x1 x  9 x 5  x x 1 x x 5   x x  x 1 x       x 1  x 1  x 1 x   x 1  x x 2  x x  U    1; 2  x   1;9;0;16 (tmdk ) Vậy x   1;9;0;16 A số nguyên 2) Phương trình x   2m  3 x  m 0 có hai nghiệm phân biệt     2m  3  4m   4m  12m   4m    2m  1   (đúng với m) Theo Viet ta có :  x1  x2 2m  ,   x1 x2 m : x12  x22 9   x1  x2   x1 x2 9  m 0   2m  3  2m 9  4m  10m 0    m     5 m  0;    thỏa đề Vậy 2 Bài 2 1) Ta có phương trình hồnh độ  d  ,  P  : x x  b  x  x  b 0  * Đường thẳng  d  ,  P  cắt hai điểm phân biệt A, B  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt      4b   b   x A  xB 1  x x  b Theo Vi-et ta có :  A B Vì I trung điểm AB nên : x A  xB   xI   2  y  y A  yB  x A  xB  x A  xB   x A xB 1  2b  I 2 2 13 OI   Ta có: 13 x y   2 I I 2b  2b  13   b  b  0  2 2 13     2b        2    b  3(tm)  b 2( ktm)  Vậy b   d  ,( P) cắt hai điểm phân biệt  x  1  x  1  x  3 15  x  1 2) Ta có :   x  10 x  x    x  60 x  36 x    x   x  10 x    x  x   0 2 A, B cho OI   x  x  56 x  56 x  12 0  20 x  12  0  x  10 x  0   x  x     x 5  19   x   11 Bài 2 2 1) Ta có: x  3xy  y  0  x   y  x  y  0  1 Xét 13  x   y   4. y    y  24 Phương trình (1) có nghiệm nguyên dương y  24 số phương 2 2 y  24  k k    y  k 24   y  k   y  k  24   Đặt y   , k    y  k  y  k Vì  y  k   y  k  24  Mặt khác  y  k  y  k 2 y nên y  k , y  k có tính chẵn   y  k 2  x 8  y   x  21 x  104       y  k 12  x 13     y  k 4  x 8   y 5  x  15 x  56 0     y  k 6  x 7 x; y     8;7  ,  13;7  ,  7;5  ,  8;5   Vậy  2) Đặt x  y a, y  z b, x  a  b   a  b  Ta có  x  y 5   y  z    z  x  a  b5   a  b  a  b5   a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b5   5ab  a  2a 2b  2ab  b3   5ab  a  b   a  ab  b  5  x  y   y  z   z  x   a  ab  b  Vì x, y , z số đôi khác nên  x  y   y  z   z  x  0 Vậy  x  y  Bài 5   y  z    z  x  chia hết cho  x  y   y  z   z  x  A E F O H C B D 1) Chứng minh FA AB  AE AC Xét ABE ACF ta có : BAC chung, AEB AFC 90 AE AF   FA AB  AE AC AB AC 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF Ta có AD, BE , CF đường cao ABC nên: BFH BDH HEC 90 Tứ giác BFHD có BFH  BDH 90  90 180 nên nội tiếp đường trịn  ABE ∽ ACF ( g g )   HDF HFB (cùng chắn cung FH )  1 Tứ giác CEHD có CEH  CDH 90  90 180 nên nội tiếp đường  tròn  HDE HCE (cùng chắn EH )   Mà FBH HCE (vì ABE ∽ ACF )  3 Từ (1), (2), (3)  FDH HDE  DH tia phân giác EDF 3) Giả sử ACB 60 Chứng minh EF  BF  3CF Tứ giác AEHF có AFH  AEH 90  90 180 nên nội tiếp đường tròn   CFE EAD (cùng chắn cung HE ) Xét FCE ADE có: CFE DAE (cmt ) ECF EDA ( CEHD nội tiếp)  FCE ∽ ADE ( g g )  FE AE   4 FC AD Xét AEH ADC có: AEH ADC 90 ; EAH chung  EAH ∽ ADC ( g.g )  AE HE   5 AD CD Mặt khác AEH có AEH 90 ( gt ); AHE ACB 60  CEHD nội tiếp)  HAE 30  EH  AH   Từ (4),  5 ,    FE HE FE HA FE HA       7 FC CD FC 2CD FC CD Xét BFC HDC có : BFC HDC 90 , BCF chung  BFC ∽ HDC ( g g )  BF HD   8 CF CD Cộng vế theo vế (7), (8) ta : 2EF BF AH DH 2EF  BF AD     FC CF CD CD hay CF CD Lại có : ACD có  ADC 90  gt  (7)  tanACD  EF  BF AD    EF  BF  3CF CF CD Bài AD tan60  CD B C E O F A D Ta có S ABD S ABE  S ADE  S ABD 2 S ABE  2S ADE  AB AD.sin BAD  AB AE.sin BAE  AD AE.sin DAE  AB AD.sin 60  AB AE.sin 30  AD AE.sin 30  AB AD 3 AB  AD 1  AE. AB  AD       1 2 AE AB AD AB AD Chứng minh tương tự , ta có : SCBD S BCF  SCDF  2S BCD 2S BCF  SCDF  CB.CD.sin BCD CB.CF sin BCF  CD.CF sin DCF  CB.CD.sin120 CB.CE.sin 60  CD.CF sin 60  CB.CD 3 CB  CD 1  CF  CB  CD       2 2 CF CB.CD CB CD Cộng vế theo vế (1) (2) ta có : 1 1      AB BC CD DA AE CF Bài Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y 1 Tìm giá trị nhỏ 1  3x y P  x  y xy biểu thức Ta có: 1  3x y 1 P     xy 2 x  4y xy x  4y xy   1       16 xy   45 xy xy   xy  x  4y  Lại có : 1 4    4   x  y 1 2 x  4y xy x  y  xy  x  y  2   3  xy  3.2 16 xy 3.2.2 12 xy  xy   45 x  y 2 xy   xy    45 xy  8  x  0; y   x  y 1  45 83 P 4  12     x  y 4 xy  8   16 xy xy   Do  x   83 Min P     y 1  Vậy   x    y 1 