SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮC LẮC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút Bài (4,0 điểm) x 5 x x 0 x 4 x x x x 1) Cho biểu thức Tìm tất giá trị nguyên x cho biểu thức A nhận giá trị nguyên A 2) Cho phương trình x 2m 3 x m 0 với m tham số Tìm số m để phương 2 trình có hai nghiệm x1 , x2 cho x1 x2 9 Bài (4,0 điểm) 1) Cho parabol P : y x đường thẳng d : y x b Tìm b để đường thẳng d OI 13 (với I trung điểm AB) cắt P hai điểm phân biệt A, B cho x x 1 x 15 x 1 2) Giải phương trình : Bài (3,0 điểm) 2 1) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn : x 3xy y 0 2) Cho x, y, z số đôi khác Chứng minh 5 x y y z z x chia hết cho x y y z z x Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE , CF ABC cắt H 1) Chứng minh FA AB AE AC 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF 3) Giả sử ACB 60 Chứng minh EF BF 3CF Bài (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có BAD 60 , BCD 120 , tia phân giác DAB cắt BD E, tia phân giác BCD cắt BD F 1 1 Chứng minh : AB BC CD DA AE CF Bài (2,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 3x y P x y xy thức ĐÁP ÁN Bài 1) Với x 0, x 4 Ta có : A x x 10 x x 1 x x 1 x x x Để biểu thức A nhận giá trị nguyên x x1 x 9 x 5 x x 1 x x 5 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 2 x x U 1; 2 x 1;9;0;16 (tmdk ) Vậy x 1;9;0;16 A số nguyên 2) Phương trình x 2m 3 x m 0 có hai nghiệm phân biệt 2m 3 4m 4m 12m 4m 2m 1 (đúng với m) Theo Viet ta có : x1 x2 2m , x1 x2 m : x12 x22 9 x1 x2 x1 x2 9 m 0 2m 3 2m 9 4m 10m 0 m 5 m 0; thỏa đề Vậy 2 Bài 2 1) Ta có phương trình hồnh độ d , P : x x b x x b 0 * Đường thẳng d , P cắt hai điểm phân biệt A, B phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 4b b x A xB 1 x x b Theo Vi-et ta có : A B Vì I trung điểm AB nên : x A xB xI 2 y y A yB x A xB x A xB x A xB 1 2b I 2 2 13 OI Ta có: 13 x y 2 I I 2b 2b 13 b b 0 2 2 13 2b 2 b 3(tm) b 2( ktm) Vậy b d ,( P) cắt hai điểm phân biệt x 1 x 1 x 3 15 x 1 2) Ta có : x 10 x x x 60 x 36 x x x 10 x x x 0 2 A, B cho OI x x 56 x 56 x 12 0 20 x 12 0 x 10 x 0 x x x 5 19 x 11 Bài 2 2 1) Ta có: x 3xy y 0 x y x y 0 1 Xét 13 x y 4. y y 24 Phương trình (1) có nghiệm nguyên dương y 24 số phương 2 2 y 24 k k y k 24 y k y k 24 Đặt y , k y k y k Vì y k y k 24 Mặt khác y k y k 2 y nên y k , y k có tính chẵn y k 2 x 8 y x 21 x 104 y k 12 x 13 y k 4 x 8 y 5 x 15 x 56 0 y k 6 x 7 x; y 8;7 , 13;7 , 7;5 , 8;5 Vậy 2) Đặt x y a, y z b, x a b a b Ta có x y 5 y z z x a b5 a b a b5 a 5a 4b 10a 3b 10a 2b3 5ab b5 5ab a 2a 2b 2ab b3 5ab a b a ab b 5 x y y z z x a ab b Vì x, y , z số đôi khác nên x y y z z x 0 Vậy x y Bài 5 y z z x chia hết cho x y y z z x A E F O H C B D 1) Chứng minh FA AB AE AC Xét ABE ACF ta có : BAC chung, AEB AFC 90 AE AF FA AB AE AC AB AC 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF Ta có AD, BE , CF đường cao ABC nên: BFH BDH HEC 90 Tứ giác BFHD có BFH BDH 90 90 180 nên nội tiếp đường trịn ABE ∽ ACF ( g g ) HDF HFB (cùng chắn cung FH ) 1 Tứ giác CEHD có CEH CDH 90 90 180 nên nội tiếp đường tròn HDE HCE (cùng chắn EH ) Mà FBH HCE (vì ABE ∽ ACF ) 3 Từ (1), (2), (3) FDH HDE DH tia phân giác EDF 3) Giả sử ACB 60 Chứng minh EF BF 3CF Tứ giác AEHF có AFH AEH 90 90 180 nên nội tiếp đường tròn CFE EAD (cùng chắn cung HE ) Xét FCE ADE có: CFE DAE (cmt ) ECF EDA ( CEHD nội tiếp) FCE ∽ ADE ( g g ) FE AE 4 FC AD Xét AEH ADC có: AEH ADC 90 ; EAH chung EAH ∽ ADC ( g.g ) AE HE 5 AD CD Mặt khác AEH có AEH 90 ( gt ); AHE ACB 60 CEHD nội tiếp) HAE 30 EH AH Từ (4), 5 , FE HE FE HA FE HA 7 FC CD FC 2CD FC CD Xét BFC HDC có : BFC HDC 90 , BCF chung BFC ∽ HDC ( g g ) BF HD 8 CF CD Cộng vế theo vế (7), (8) ta : 2EF BF AH DH 2EF BF AD FC CF CD CD hay CF CD Lại có : ACD có ADC 90 gt (7) tanACD EF BF AD EF BF 3CF CF CD Bài AD tan60 CD B C E O F A D Ta có S ABD S ABE S ADE S ABD 2 S ABE 2S ADE AB AD.sin BAD AB AE.sin BAE AD AE.sin DAE AB AD.sin 60 AB AE.sin 30 AD AE.sin 30 AB AD 3 AB AD 1 AE. AB AD 1 2 AE AB AD AB AD Chứng minh tương tự , ta có : SCBD S BCF SCDF 2S BCD 2S BCF SCDF CB.CD.sin BCD CB.CF sin BCF CD.CF sin DCF CB.CD.sin120 CB.CE.sin 60 CD.CF sin 60 CB.CD 3 CB CD 1 CF CB CD 2 2 CF CB.CD CB CD Cộng vế theo vế (1) (2) ta có : 1 1 AB BC CD DA AE CF Bài Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ 1 3x y P x y xy biểu thức Ta có: 1 3x y 1 P xy 2 x 4y xy x 4y xy 1 16 xy 45 xy xy xy x 4y Lại có : 1 4 4 x y 1 2 x 4y xy x y xy x y 2 3 xy 3.2 16 xy 3.2.2 12 xy xy 45 x y 2 xy xy 45 xy 8 x 0; y x y 1 45 83 P 4 12 x y 4 xy 8 16 xy xy Do x 83 Min P y 1 Vậy x y 1