036 đề thi hsg toán 9 tỉnh hưng yên 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Mơn thi: TỐN Thời gian làm : 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) B  10 x  30 x  11 2020  2x   x  3 2021 x5  x  x3  a) Tính giá trị biểu thức 3 x 2 b) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x   y  3 x  y  0 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình : x  x  2 x    x  b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M , N điểm phân biệt di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố 1 P   OM ON dịnh I  1;2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 3.(4,0 điểm)  x  y 65  2 a) Giải hệ phương trình :  x y  xy 20 b) Một nhóm học sinh giao xếp 810 sách vào tủ thư viện thời gian định Khi bắt đầu làm việc, nhóm bổ sung thêm học sinh nên nhóm xếp nhiều dự định 110 sách Vì khơng hoàn thành trước dự định 30 phút mà vượt mức giao 60 sách Hỏi số sách nhóm dự định xếp ? Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh : AB.sin C  BC.sin A  CA.sin B   AB  BC  CA   sin A  sin B  sin C  Câu (4,0 điểm) Cho đường trịn  O; R  có hai đường kính AB, CD vng góc với Lấy E điểm cung nhỏ AD,  E không trùng với A D) Đường thẳng EC cắt OA M, đường thẳng EB cắt OD N a) Chứng minh AM ED  2OM EA OM ON  b) Xác định vị trí điểm E để tổng AM DN đạt giá trị nhỏ a bc  Tìm Câu (2,0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1  1  1  P             a b  b c  c a  giá trị biểu thức ĐÁP ÁN Câu a) Ta có : Lại có x 3   x  3 5  x  12 x  0  x  3x  0 10 x  30 x  11 10  x  x  1  10.0  1 x  x  2 x  x   2  x  x  1  2.0  1 x5  x  x3  x3  x  3x  1  0   Vậy B 0 2 x  y  x  y   x  3x   y  x  1  1   b)Ta có : x  3x  x  0   1  y  2x 1 x  Vì nên x 11 11  y    y  x     2 4  x  1 x 1 Vì x, y    y,2 x  số nguyên Do từ (2) ta suy 11 x  1  x  1U  11  x  1   11;  1;1;11  x    6;  1;0;5 Thay x    6;  1;0;5 vào phương trình (1) ta  x, y     6;  5 ;   1;   ;  0;1 ;  5;1  (thỏa mãn x, y nguyên) Câu 2 a) Giải phương trình x  x  2 x    x  Điều kiện : x 1 (*) Ta có: x  x  2 x    x     x  x x   x   x  x   0      x  x   x  x   0  x  x   1(ktm)    x  x  3  x  3  x   Vậy phương trình có nghiệm x 2  x 2 1 x 3   x  9  x  x P b) Tìm giá trị nhỏ biêu thức Đặt m xM , n  yN  m, n 0; m 1; n 2  * 1  OM ON Gọi đường thẳng qua điểm M , I , N có dạng y ax  b  a 0  am  b 0   a  b 2  2m  n mn   1 ** m n b n  (chia vế cho mn 0) 2 4   1  2         5        m mn n n   m n  m n m  1   5     P    n  m n m  , m n kết hợp  **  m 5, n 2,5(tm(*)) Đẳng thức xảy Min P   m 5; n 2,5 Vậy Câu  x  y 65  2 a) Giải hệ phương trình  x y  xy 20 Ta có : 3  x  y 65  x  y 65  1   *  2  x y  xy 20 3x y  3xy 60   Cộng vế theo vế (1) (2) ta : x3  x y  3xy  y 125   x  y  125  x  y 5  2  xy 4 Suy hệ PT (*)   x 4   x  y 5   y 1     x 1 xy      y 4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  4;1 ;  1;4  b) Gọi số sách nhóm dự định xếp x (quyển)  x   * Số sách thực tế xếp : x  110 (quyển) 810 Thời gian dự định để xếp 810 sách : x (giờ) Tổng số sách xếp thực tế : 810  60 870 (quyển) 870  h Thời gian thực tế để xếp 870 sách : x  110 Do cơng việc hồn thành trước dự định 30 phút nên ta có phương trình  x 180(tm) 810 870  1,5   x  180   x  330  0   x x  110  x  330(ktm) Vậy số sách dự định xếp 180 Câu A B H Kẻ đường cao AH ABC C AB AB AB AC AB AC BC AB AC BC     sin C AH AH AH BC 2S ABC AC Ta có : AB AC.BC k  k    AB k sin C S ABC Đặt Chứng minh tương tự, ta : AC k sin B, BC k sin A Do AB.sin C  BC.sin A  CA.sin B  k sin C  k sin A  k sin B  k  sin A  sin B  sin C   1 Lại có:  AB  BC  CA  sin A  sin B  sin C    k sin A  k sin B  k.sin C   sin A  sin B  sin C   k  sin A  sin B  sin C   k  sin A  sin B  sin C    Từ (1) (2) suy : AB.sin C  BC.sin A  CA.sin B  Câu  AB  BC  CA   sin A  sin B  sin C  C M A O B N E D a) Xét COM CED có: COM CED 90 , ECD chung CO OM  COM ∽ CED    1 CE ED Do AB, CD hai đường kính vng góc với  CEA CAB 45 Xét AMC EAC có: CEA CAB 45 , ACE chung  AMC ∽ EAC  Kết hợp với (1)  AC AM  CE AE mà AC  2CO (do ACO vuông cân O) AM 2CO 2OM   AE CE ED  AM ED  2OM AE  dfcm  ED 2OM   2 CE b) Từ câu a ta có : AE EA 2ON   3 DE DN a Tương tự câu ta có : OM ON   AM DN Nhân theo vế (2) (3) OM ON OM ON  2 2  AM DN AM DN Ta có : OM ON ED EA     ED EA  E AM DN EA ED "  " Dấu xảy điểm cung nhỏ AD OM ON  GTNN AM DN 2, đạt E điểm cung nhỏ AD Vậy E điểm cung nhỏ AD (thỏa mãn toán ) Câu 1 1 1   x ,   y ;   z  x, y , z  b c c a Đặt a b (vì a, b, c  0) Do P   x    y    z  27   xy  yz  xz    x  y  z   xyz Áp dụng bđt Cô si ta được: P 27   xyz   1  1  1  xyz            27 xyz  xyz  *  a b   b c   c a  abc mà Mặt khác : 1 a  b  c 3 abc   abc  abc   64  xyz 64 2 abc 3 Từ (*) suy P 27  64  27 64  64 343 Dấu " " xảy Vậy a b c  Min P 343  a b c  2