UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Mơn thi: TỐN Thời gain làm : 150 phút (khơng kể giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) Cho Chứng minh Cho biểu thức a) Rút gọn b) Tìm giá trị nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho phương trình 1) Tìm để phương trình có hai nghiệm 2) Với giá trị Câu (4,0 điểm) phương trình có hai nghiệm tham số) cho 1) Giải hệ phương trình 2) Tìm số tự nhiên cho Câu (2,0 điểm) Cho ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (6,0 điểm) Cho tam giác vuông Gọi tiếp điểm với cạnh đường thẳng 1) Tính số đo góc 2) Giả sử điểm di chuyển đoạn a) Khi gọi giao điểm thẳng hàng ngoại tiếp đường tròn tâm O Đường thẳng BO cắt Chứng minh ba điểm b) Gọi giao điểm đường thẳng với cung nhỏ hình chiếu đường thẳng Xác định vị trí điểm để độ dài đoạn thẳng lớn Câu (2,0 điểm) Cho điểm khơng có điểm thẳng hàng nằm hình lục giác có cạnh Chứng minh ln tồn tam giác có góc khơng lớn 450 nằm đường trịn có bán kính nhỏ Tìm số tự nhiên trị nguyên thỏa mãn ĐÁP ÁN Câu 1.1) ĐKXĐ: Từ Ta có: 1.2) a) Điều kiện : Áp dụng AM-GM Vậy Câu a) Phương trình b) Theo hệ thức Vi-et ta có : Trường hợp 1: có hai nghiệm Ta có : nhận giá Nếu dấu Khi Trường hợp 2: Nếu (thỏa mãn (*)) trái dấu Khi Vậy Câu Điều kiện : Dễ thấy Ta có phương trình : vơ nghiệm Thay vào (2) ta : Từ (4) suy Xét Xét thay vào phương trình (4) ta thấy khơng thỏa mãn phương trình (4) tương đương Đặt Phương trình (4) trở thành : Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm Câu 3b Từ giả thiết ta có : Vậy Câu 4.Ta có : Tương tự ta có : Từ (1), (2), (3), ta có : Mà Nên Lại có Dấu xảy Vậy Câu A E D K B 5.1) Vì O I M C H F tiếp tuyến (O) nên Mà (vì thuộc đường trịn (O)) nên K trung trực vuông K Chỉ tứ giác hình vng Theo quan hệ góc nội tiếp góc tâm cho đường trịn (O), ta có : vng cân K hay 5.2 ) A P E D K I O H N C Q F B a) Tứ giác Có M hình vng nên tam giác trung trực DE vuông cân A tứ giác nội tiếp Thấy tứ giác nội tiếp (3) Từ (2) (3) điểm nằm đường tròn Suy Mặt khác hai góc đồng vị nên Từ (1) (4) thẳng hàng 5.2b) Vì nên tứ giác nội tiếp (vì chắn cung Mặt khác, tứ giác nội tiếp (O) nên Từ (5) (6) ta có : hay , tương tự ta có : Từ (7) (8) suy : Theo quan hệ đường xiên – vng góc ta có : khơng đổi (do Dấu xảy Do cố định) thẳng hàng M giao điểm BN với điểm đối xứng với D qua O Câu 1) Chia lục giác cạnh thành tam giác có cạnh 1, có 19 điểm nằm lục giác nên theo nguyên lý Dirichlet có tam giác chứa điểm 19 điểm cho Dễ thấy điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh có bán kính Trường hợp 1: Giả sử điểm có góc nhỏ hoặc băng Giả sử tạo thành tứ giác lồi (hình 3.1), suy giả sử hai góc suy tam giác có góc nhỏ thỏa mãn góc không lớn A B D C A A D C B Hình 3.1 Hình 3.2 C B D Hình 3.3 Trường hợp 2: Giả sử điểm tạo thành hình 3.2 3.3 +)Nếu khơng lớn lớn +) Nếu Giả sử hai góc có số đo suy tam giác thỏa mãn có góc khơng Giả sử hai góc có góc khơng lớn suy tam giác thỏa mãn có góc khơng lớn Như từ trường hợp trên, ta suy 2) Ta có: Hơn Nếu Vơ lý Từ suy Trường hợp 1: Do lẻ mà Ta có trường hợp sau : ta có chẵn nên phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: ta có : Trường hợp 3: ta có : Trường hợp 4: ta có : Phương trình vơ nghiệm vế phải chia hết cho mà vế trái không chia hết cho Vậy thỏa mãn toán