SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút – Ngày thi: 01/04/2021 Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn a b c chia hết cho Chứng minh a b3 c chia hết cho y x 3 x3 3 x ; y b) Tìm tất số nguyên thỏa phương trình Câu (4,0 điểm) a) b) x x x x 12 Giải phương trình Tìm m để phương trình x x m 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa 4 mãn x1 x2 82 Câu (4,0 điểm) a) Cho x x 4, rút gọn biểu thức : 5 x x 2 x T : x 2 x x 2 x x b) Cho a, b, c, d số dương Chứng minh bất đẳng thức : a b c d 2 b c c d d a a b Câu (4,0 điểm) a) Cho hình chữ nhật ABCD AB BC Kẻ DH vng góc với AC H Trên tia đối tia DH lấy điểm M cho DM AC Tính ABM b) Cho hình bình hành ABCD AB BC Gọi M trung điểm BC N giao điểm AM BD Tính tỉ số diện tích hình bình hành ABCD diện tích tứ giác MNDC Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường tròn T tâm O, BAC 60 Đường phân giác BAC ABC cắt T D D A Tính AB AC AD b) Cho hình vng ABCD có diện tích 2021 Xét điểm M thay đổi đường chéo AC , gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ M lên cạnh AB, BC hình vng ABCD Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác DEF ĐÁP ÁN Câu a b3 c a a 1 b b 1 c c 1 a b c a) Xét a a 1 a 1 a a 1 chia hết cho (vì tích ba số tự nhiên liên tiếp) b b 1 b 1 b b 1 chia hết cho (vì tích ba số tự nhiên liên tiếp) c c 1 c 1 c c 1 chia hết cho 6(vì tích ba số tự nhiên liên tiếp) a b c chia hết cho (giả thiết) 3 Vậy a b c chia hết cho y x 3 x 3 b) Ta có : x3 3x y x x M , x 3 x 3 với x, M nguyên x x 3 x 3 x 3 12 12 Mx 3 M 2 x 3 x 3 x 3 Xét Do Mx nguyên nên x ước 12 x 3; x 1; x 0; x 1; x 3 x y 2(tm) x y (ktm) x 0 y 1(tm) x 1 y 1(tm) x 3 y (ktm) Vậy số nguyên x; y 3; , 0;1 , 1;1 Câu a)4 x x x x 12 x 12 x x 4 x x 12 x x 12 x 12 x 12 x x x 12 x x 12 x 0 x 12 2 x x 12 x x 12 2 x x x 2 x 12 x 0 4 4 x 2, x Vậy phương trình cho có nghiệm b) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' 4 m m m x1 x2 4 4 x x m m 3, Với theo Vi – et ta có : Ta có x1 x2 82 m 18m 88 m m 22 2 x 12 x x 4 x m m 22 m m 22 m 22 Kết hợp với điều kiện m suy m thỏa mãn yêu cầu toán Câu a) Với x 0, x 4 ta có : 5 x x 2 x T : x 2 x x 2 x x x x 2 x : x x x 2 x x 4 x x x : x x4 x x 4 x 1 x a b c d b c c d d a a b c b d a b c d a c d a b a d a c b c b a b d c d b c d a c d a b b)VT a c ad bc b d ab cd b c d a c d a b x y a c ad bc b d ab cd x y xy 1 2 a b c d a b c d 4 a b c d ab bc cd ad VT a b c d 2 a b c d a c b d 2 a b c d 2 a b c d 2 2 a bc d a b c d 2 b c c d d a a b Vậy Đẳng thức xảy a c b d Câu a) F E M A D B H C Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng BA, CD E F Do DAH FDM (cùng phụ với ADH ) AC DM nên ADC DFM Suy DC FM , AD FD EF EA Do EB EA AB EF FM EM EBM cân E AMB 45 b) M B C N O A D Gọi O giao điểm hai đường chéo AC , BD Ta có : S BMN BM BN BM BN S BCD BC.BD BM BN (Do M trung điểm BC) BN BM (Ta let ) ND AD Lại có BM / / AD (do ABCD hình bình hành) BN BM 1 BN BD ND BC S BM BN 1 BMN S BMN S BCD S BCD BM 3BN 6 5 S 12 S MNDC S BCD S ABCD S ABCD ABCD 6 12 S MNDC Câu a) (T) A O B K C H D Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ D đường thẳng AB, AC Ta có AHD AKD (vì AD chung , HAD KAD ) DH DK , AH AK Do BHD CKD( DH DK , DB DC ) BH KC Ta có AB AC AH BH AK KC 2 AH 2 AD.cos HAD 2 AD.cos30 AD AB AC AD b) B E F C M D A S DEF S DEM S DMF S MEF S DEM S AEM AE.EM , S DMF S MFC FC.FM 1 S DEF S AEFC S ABC S BEF S ABCD BE.BF 2 BE BF BE.BF , đẳng thức xảy BE BF Do 2 AB BE BF BE EA BE.BF S ABCD BF EM EA 2 4 1 6063 S DEF S ABCD S ABCD S ABCD 8 6063 S DEF M trung điểm AC 6063 Min S DEF M Vậy trung điểm AC