đều là số chính ph¬ng Học sinh làm các cách khác nhau nếu đúng về cơ sở bộ môn cho điểm tèi ®a.[r]
(1)phòng giáo dục & đào tạo HuyÖn tÜnh gia §Ò thi häc sinh giái líp N¨m häc 2012-2013 M«n To¸n häc §Ò ChÝnh thøc ( Thêi gian: 150 phót kh«ng kÓ thêi gian giao đề) C©u 1( ®iÓm) : Cho biÓu thøc ( √ x + √ y ) − √ xy x √ y+ y √ x P= − √x− √ y √ xy a) Tìm điều kiện để P có nghĩa ? b) Khi P cã nghÜa, chøng tá P kh«ng phô thuéc vµo x C©u ( ®iÓm) + 1- So s¸nh : vµ √7 − √6 √6 − √3 √7 + √3 2- Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : x −2 > - xx −3 −2 x −1 C©u ( 4,5 ®iÓm) - Cho a + b =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q= a3 + b3 + ab - BiÕt ax + by + cz = h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P= x − y ¿2 ¿ z − x ¿ 2+ ab ¿ y − z ¿ 2+ca ¿ bc ¿ ¿ C©u ( ®iÓm) Cho tam giác ABC , lấy điểm C’ [AB] Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’, cắt BC A’ Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC, cắt AC 1 + '= t¹i B’ Chøng minh r»ng : ' AA BB CC ' C©u (3,5 ®iÓm ) Mét häc sinh viÕt d·y sè sau : 49, 4489, 444889, 44448889, (sè đứng sau đợc viết 48 vào số đứng trớc ) Chứng minh tất các số viết theo quy luật trên là số chính phơng Lu ý : Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm (2) phòng giáo dục & đào tạo HuyÖn tÜnh gia C©u bµi a x b = hớng dẫn chấm đề môn toán N¨m häc 2012-2013 Néi dung y vµ x>0 ; y >0 x +2 √ xy + y − √ xy √ xy ( √ x+ √ y ) − √ x−√ y √ xy √ x−√y ¿ ¿ = ¿ ¿ =-2 √ y VËy A==-2 √ y kh«ng phô thuéc 2 §iÓm 0,5 0,5 0,5 vµo x + = (√ − √ 3) + ( √ 7− √ 3) −3 7−3 √6 − √3 √7 +√3 = (√ − √ 3)+(√ − √ 3) = √ 7+ √ 6= √7 −√6 + VËy = √7 − √6 √6 − √3 √7 +√3 x −2 > - xx −3 ®/k x ; x −2 x −1 Ta cã ⇔ ⇔ ⇔ x −1 x −2 > x −2 x −1 x −1 x −2 − >0 x −2 x −1 x −2 ¿ ¿ x −1 ¿2 −¿ ¿ ¿ Do đó MinQ= 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Q= a3 + b3 + ab = (a+b)(a2 - ab + b2) +ab = (a+b)[(a+b)2 – 3ab] +ab Thay a+b = Q= 1- 2ab = 1- 2a(1-a) = 2a2 -2a +1 = 2(a- 12 )2 + 12 2 0,5 0,5 0,25 (x-2)(x-1)(2x-3) > (*) Lý luËn hoÆc lËp b¶ng xÐt ta cã: (*) ⇔ 1<x < 32 hoÆc x>2 So víi ®/k nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh lµ 1<x < 32 hoÆc x>2 ⇔ 0,5 a=b= 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 (3) Ta cã ax +by +cz = ⇔ a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2abxy+2bcyz +2cazx= ⇔ a2x2 + b2y2 + c2z2 = - 2abxy-2bcyz - 2cazx (*) 0,5 0,5 Ta x− y¿ ¿ z − x ¿ + ab ¿ = cã P= y − z ¿ + ca ¿ bc ¿ ¿ 2 2 2 bc( y + z )+ca ( z + x )+ab (x + y )− 2abxy −2 bcyz −2 cazx ax 2+ by +cz = Thay (*) vµo tö sè cña P ta cã tö sè cña P lµ: bc(y2+z2)+ca(z2+x2)+ ab(x2+y2) +a2x2 + b2y2 + c2z2 = x2(a2+ab +ac)+y2(ab+b2+bc)+z2(ac +bc +c2) = ax2(a+b+c) + by2( a+b+c) + cz2(a + b +c) = ( a+b+c)(ax2+by2+cz2) 2 Ta cã P= (a+2 b+c2 )(ax2 + by + cz ) = a +b + c 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ax + by +cz A’ B’ C A C’ ' (1) CC’//BB’ suy (2) Céng ( 1) vµ (2) vÕ víi vÕ ta cã : ' ' ' CC' CC' BC + AC BC + AC' + = = ' ' BB tơng đơng với Hay ta cã BA BA CC' AA ' CC' BB' 1 + '= ' AA BB CC ' + 0,5 ' CC BC = ' AA BA CC' AC' = BB' BA Ta cã CC’//AA’ suy AA B BA = 0,5 =1 CC' CC' n-1 sè 1,0 0,5 ( ®iÒu ph¶i chøng minh) Bạn học sinh viết dãy số đó có số tổng quát là an = 444 888 89 = 444 488888+1 n sè 1,0 0,5 n sè n sè 0,5 (4) = 44 10n + 88 + 0,5 = 4.111 1.10n + 11 + 0,5 V× 11 = 99 .9 nªn ta cã thÓ viÕt n n =4 10 −1 10 n+ 10 −1 +1 = ( 9 102 n+ 10n +1 n n 10 +1 10 +1 3 ) 0,5 0,5 0,5 = nguyªn v× 10n +1 chi hÕt 0,5 Vậy số dãy 49, 4489, 444889, là số chính ph¬ng ( Học sinh làm các cách khác đúng sở môn cho điểm tèi ®a) (5)