111Equation Chapter Section 1KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VỊNG I – YÊN ĐỊNH DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN TỐN Thời gian: 150 phút A x3 x 1 x2 x x 1 x2 x2 x 1 x2 x3 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị x để A x Câu (4,0 điểm) 18 18 x x 1) Giải phương trình : x x x 3 x 1 0 2) Cho ba số thực a, b, c khác khác đôi một, thỏa mãn a b c a) Chứng minh a 2bc a b a c b) Tính giá trị biểu thức : 2020a 2021bc 2020b 2021ac 2020c 2021ab A a 2bc b 2ac c 2ab Câu (4,0 điểm) 2 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x x y xy y 2020 2) Chứng minh a số nguyên tố lớn a chia hết cho 240 Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm I nằm hai điểm A B, điểm K nằm hai điểm B C cho BI CK Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh OIK OKI 45 b) Gọi M giao điểm AC DI , N giao điểm BD AK Chứng minh tứ giác AMNB hình thang cân c) Xác định vị trí điểm I , K cho tam giác DIK có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ theo a Câu (2,0 điểm) 2 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 3abc Tìm giá trị lớn a b c Q 3a 3b 3c biểu thức ĐÁP ÁN Câu 1) Rút gọn A x3 x 1 x2 x 1 A x 1 x2 2x 1 x2 x3 x x 1 1 x2 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x A 1 x x2 Vậy 2) Tìm tất giá trị x để A x 1 x A x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x x x5 x3 x x 0 x x x x 1 0 x 0(tmdk )( x x x 0) Vậy để A x x 0 Câu 18 18 x x 1 1) Giải phương trình : x x x 3 x ĐKXĐ: x 1; x 3; x 2 1 9. x x x 1 x 3 x 3 x 1 9 x x x 1 x x x x 1 x 5 x x 36 x x x 6x 9 9 x x x x 36 2 2 81 x2 6x 36 2 1 225 x 6x 2 x 1 15 x x x x x 7 2 (tmdk ) x 1 15 x x x x x Vậy S 1; 7; 2; 4 1 0 2) Cho ba số thực a, b, c khác khác đôi một, thỏa mãn a b c a 2bc a b a c a) Chứng minh Ta có : 1 bc ac ab 0 0 bc ab ac 0 bc ac ab a b c abc a 2bc a bc ac ab a ac bc ab a a c b a c a b a c b) Tính giá trị biểu thức : 2020a 2021bc 2020b 2021ac 2020c 2021ab A a 2bc b 2ac c 2ab 2 Tương tự, có: b 2ca b c b a ; c 2ab c a c b A 2020 a bc bc 2020 b ac ac a 2bc b 2ac ac ab bc A 6060 a 2bc b 2ac c 2ab 2020 c ab ab c 2ab bc ac ab A 6060 a b a c b c b a c a c b bc ac ab 6060 a b c a b c a b c a b c bc b c ac c a ab a b 6060 1 a b b c c a Mặt khác : bc b c ac c a ab a b b c a b c a bc b c b c a b c a bc b c a ab ac bc b c c a a b Từ (1), (2) A 6061 Câu 2 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x x x y xy y (1) x2 x 1 x x x x 1 y y 2 x x 1 1 x x x 0) 2 (Vì x x 1 x 1 2x y x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 2x x x 1 Vì x , y nên x x Mà : 2 2 x x x x 1 3 4 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 U (3) 1; 3 x x 1 1;3 , x x x x 1 x 0 y 0 th1: x x 1 x 1 y 2 x 1 x y 0 th : x x 3 x 2 y 2 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên : x; y 0;0 ; 1;2 ; 1;0 ; 2;2 2020 2) Chứng minh a số nguyên tố lớn a 1240 a 2020 a 505 1505 a 1 M a 1 a 1 a 1 M Vì a số nguyên tố lớn nên a 1; a hai số nguyên tố chẵn liên tiếp Do a 1 a 1 8 1 Trong số tự nhiên liên tiếp a 1; a; a ln có số chia hết cho Nhưng a số nguyên tố lớn nên a không chia hết cho Do a a chia hết cho Tích a 1 a 1 3 Vì (8;3)=1 nên từ (1) (2) suy tích a 1 a 1 24 * a 1 2 3 a a Vì số nguyên tố lớn nên số lẻ Suy Vì a số nguyên tố lớn nên a không chia hết cho Số a thuộc a 1 5 k 1;5 k 2;5 k 3;5 k dạng Suy a 1 10 ** Vì 2;5 1 nên từ (3), (4) * , ** a 1 a 1 a 1 240 Từ 2020 Vậy a số nguyên tố lớn a chia hết cho 240 Câu I A B E N M O D K C a) Chứng minh OIK OKI 45 AC , BD Vì tứ giác ABCD hình vng có hai đường chéo cắt O nên theo IBO KCO 45 , OB OC tính chất hình vng, suy IB KC ( gt ); IBO KCO; OB OC (cmt ) Xét IBO KCO có IBO KCO(c.g.c) OI OK 1 IOB KOC , (các góc tương ứng) IOK IOB BOK KOC BOK BOC 90 Từ (1) (2) suy IOK vuông cân O Suy OIK OKI 45 b) Gọi M giao điểm AC DI , N giao điểm BD AK Chứng minh tứ giác AMNB hình thang cân Gọi E giao điểm AK DI Ta có : AB BC a, BI CK AB BI BC CK AI BK Xét ADI BAK có : AD BA a, DAI ABK 90 , AI BK (cmt ) ADI BAK (cgc) ADI BAK (các góc tương ứng) Hay ADI IAE Mà ADI DIA 90 IAE DIA 90 AEI vuông E , AE DI Mặt khác AO DN (tính chất hình vng) Suy AO, DE hai đường cao tam giác AND, chúng cắt M nên M trực tâm AND Suy MN AD MN / / AB AD AMNB hình thang Hình thang AMNB có hai góc kề đáy MAB NBA 45 nên hình thang cân c) Xác định vị trí điểm I , K cho tam giác DIK có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ theo a Ta có: S DIK S ABCD S ADI S DCK S BIK a BI BK a a BI BK AI CK AI BI AB a ) S DIK 1 2 (Vì 2 BI BK BI BI BK BK 0 Vì a AI a.CK BI BK S DIK a 2 2 BI BI BK BK 4 BI BK BI BK 4 BI BK BI BK BI BK a2 Nên kết hợp với (1) ta : Dấu " " xảy Vậy a2 S DIK BI BK BI BK a2 a2 a2 4 a a diện tích tam giác DIK nhỏ Giá trị nhỏ 3abc a b c ab bc ca 1 3 a b c Câu Ta có : 1 x ,y ;z a b c Khi x, y, z x y z 3 Đặt 1 a b c x y z Q a b c 3a 3b 3c x y z a2 b2 c2 x x x 1 1 x x 1 2 x 2 x 1 Vì hai bất đẳng thức tương tự nên : 1 1 9 Q 2 x 1 y 1 z 1 2 x y z 2 Dấu " " xảy x y z 1 a b c 1 MaxQ a b c 1 Vậy