050 đề thi hsg toán 9 tỉnh hà nam 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN  x x x x x  x 1  x  39 Q     x  x   x  x  x  10  x Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ P : y  x   Oxy , Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng cho parabol đường thẳng  d  : y mx  (với m tham số) Tìm tất giá trị m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB (đơn vị diện tích) Câu (4,0 điểm) 2 x  x  11  x  x 1   a) Giải phương trình    x  y y   x2  y    x2  y  x y   y x   b) Giải hệ phương trình :  a  b 2021 Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn b  c 2021 số hữu tỷ a  b  c số nguyên tố Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn  O  Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC cắt H , EF cắt  O  P, Q  P  cung AB  a) Chứng minh tam giác APQ cân b) Chứng minh DH DA DE.DF c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua AB, điểm N đối xứng với điểm Q qua AC Chứng minh MN / / BC Cho đường tròn  I  nội tiếp tam giác ABC ,  I  tiếp xúc với ba cạnh BC , CA, AB điểm D, E , F Gọi M trung điểm BC Chứng minh đường thẳng AM , EF , DI đồng quy Câu 6.(2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương, tùy ý Chứng minh rằng: a ab  b  b bc  c  c ca  a  2 ĐÁP ÁN  x x x x x  x 1  x  39 Q     x  x   x  x  x  10  x Câu Cho biểu thức a) Rút gọn Q ĐKXĐ: x 4; x 1; x 0 , ta có :   x  x x  x x  x  x  39  Q     x x  1 x 2 x1 x 2 x x 5    x       x  1  x  x x    x  1 x   x  x         x  39  x  5  x    x  1 x x  x x 4 x  39 x  39    x  1 x  2  x  2 x  5  x  1 x    x   x  5  x x  39 x 5 b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ Với x 4; x 1; x 0 , ta có: x  39 x  25  64 64 64   x  5  x 5  10 x 5 x 5 x 5 x 5 64 x  5; x  ta : Áp dụng BĐT Co-si cho hai số dương Q x 5 64 2 x 5  64  x 5 Vậy Q 6  x 9 Câu Q 6  x 5  x 5 64 16  Q 16  10 6 x 5 x  8  x 9(tm) +)Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  : x mx   x  2mx  0  1  P  cắt  d  hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   '  mà  ' m   với m   Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1)     A  x1; x12  , B  x2 ; x22    P  cắt  d       x1 x2   *   x1  x2 2m Áp dụng định lý Vi-et, ta có : Gọi M , N hình chiếu A, B trục Ox Vì x1.x2  , khơng tính tỏng quát, ta giả sử x1   x2  x2  x1   SOAB S ABNM  SOAM  SOBN 1 1  S ABNC   x12  x22   x2  x1    x12  x22   x2  x1  2 2  1  x13  x23  x1 x2  x1  x2  4 1 1 1 S AMO  x12   x1   x13 ; S BNO  x22 x2  x32 2 2 1 SOAB  x1 x2  x1  x2       x1  x2  x2  x1 5  x2 5  x1  **  SOAB 5  4  x1   x1    x12  x1  0  x1 x2      x2 5  x1 x2 5  x1    x2 5  x1  Từ (*) (**)   x1   0(tm)   m  x  x   m    x2 4  0(tm)      x   0(tm)  2m x  x   m    1    x2 1  0(tm) m  Vậy Câu 2 a) Giải phương trình x  x  11  x   x  Đặt x  t  t 0  , phương trình có dạng 2 t   x   t  x  10 0 có   x     x  10   x  3 0, với x    t x   t 5 Phương trình có hai nghiệm  Th1: t x   Th2 : t 5   x  2 x  x     2 x   x  x    x 2    x 2  x  5  x 24  x 2     7; 2 Vậy phương trình cho có nghiệm  x  y y   x  y   1   x2  y  x y   y x    2  b) Giải hệ phương trình ĐKXĐ: x 1; y 1 Ta có :  2  2x y   y x  x  y    x  y    y  x   x  y  Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm, ta : x2  y  y2  4x  2 x  y  4  ; y  4x  4  2 x2  y2  4x  y   x2  y   2 2  x  y  x  y  x  y   x  y   x  y  0   x  y    x  y  0  * Mặt khác :  1   x  y   x2  y  xy  y x x  y x y x  y  xy  y x y    x y 2 x y 2 x  y  xy  y x  y  xy  y   x  y   x  y   0  **   x  y 0    x  y  0 (3)  * ,  **   x 2 y   (4)  y 2 x    Từ Th1: x  y, thay vào phương trình  3 ,    x  y 2  1(tm) Th2: x 4  y , thay vào phương trình (3), (4)  y 3   y  4  y  1      y  y  16 4 y    y 4   y   y  y  12 0   y 3   y  12 y  20 0  y  y  12 0     y 3   y 2    y 2  x 2  1(tm) y  10     y 2    y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   2;2  a  b 2021 2 Câu Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn b  c 2021 số hữu tỷ a  b  c số nguyên tố a  b 2021 a  b 2021 b  c 2021  b  2021c b  c 2021 Ta có : số hữu tỉ    2021  b  c    số hữu tỉ 2021  ab  2021bc   ac  b   a  b 2021 b  c 2021 a b Mà  ac  b 0  b ac Ta lại có : 2 a  b2  c  a  c   2ac  b  a  c   2b  b 2  a  c   b  a  c  b   a  c  b  2021, a; b; c   2 Mặt khác, a  b  c số nguyên tố với a, b, c    a  c  b 1  a  b  c 1 Nên ta có :  TH 1: a  b  c 1, a, b, c    a  b  c 1(ktm) a  c  b 1 a  c b  Th2 :    *  2 2 a  b  c  a  b  c a  b  c    2 Có a  b  c a  b  c  a  a  1  b  b  1  c  c  1 0 Mà a, b, c    a  a  1 0; b  b  1 0; c  c  1 0  a 1  b 1  c 1   ; ; ;  a 0  b 0  c 0 kết hợp với  *  a b c 1 2 Thử lại ta có :  a  b  c 3  a b c 1(tm) Vậy a b c 1 Câu 1) B x P D M F A N H E O C Q a) Có BE  AC , CF  AB  AEH AFH 90  AEHF nội tiếp  AEF AHF (cùng chắn cung AF ) Mà CHD AHF (đối đỉnh)  AEF CHD Mà CHD FBC (cùng phụ với HCD )  AEF FBC  AEP ABC  sd AP  sdQC Lại có (góc trong) 1  ABC  sd AC  sd AQ  sdQC 2 (nội tiếp)  AP  AQ  APQ cân A AEP      b) Chứng minh tương tự phần a, ta BFHD, CEHD tứ giác nội tiếp   FDH FBH (cùng chắn cung FH ), EDH ECH (cùng chắn EH ) FBH ECH (cùng phụ với BAC )  FDH EDH  FDA EDH  1  Lại có FAD HCD (cùng phụ với ABC ); HCD HED (cùng chắn HD )  FAD HED   DA DF   DH DA DE DF DE DH Từ (1), (2) c) M đối xứng với P qua AB, N đối xứng với Q qua AC  AP  AM , AN  AQ Mà AP  AQ (vì APQ cân A)  AP  AM  AN  AQ  FDA ∽ HDE ( g g )   PMNQ tứ giác nội tiếp  PQN PMx  BE  AC  BE / / QN  PQN FEB  PMx FEB  1  QN  AC  Có : Có BFC BEC 90  BFEC tứ giác nội tiếp  FEB FCB (cùng chắn cung FB )   Từ (1) (2)  FCB PMx Lại có FC  AB, PM  AB  FC / / PM  BC / / Mx  BC / / MN 2) A H F K E J I B D M C Gọi EF cắt DI K, vẽ đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC H J Ta có : DI  BC.HJ / / BC  IK  HJ Từ IKHF tứ giác nội tiếp (vì IKH  IFH 180 )  KHI KFI (cùng chắn cung KI ) Tương tự KJI KEI Mà KFI KEI  EIF cân I)  KHI KJI  HIJ cân I Mà IK  HJ K  K trung điểm HJ HK ' AK ' K ' J    HK ' K ' J BM AM CM HJ AM K ' Ta giả sử cắt theo Ta let ta có: (vì MB MC )  AM cắt HJ trung điểm HJ  AM qua K  AM , EF , DI đồng quy Câu +)Áp dụng BĐT Cosi với số a, b dương, tùy ý, ta có : 2a  a  b 3b  a  2 a 2a 2a   2b  a  b  a  3b ab  b 2 ab  b  2b  a  b    Áp dụng tương tự ta có : b bc  c  2b  a ab  b 2c  b  c    b 2b c 2c 2c ;   b  3c ca  a 2a  c  a  3a  c c  bc  c ca  a  2a 2b 2c   a  3b b  3c 3a  c  a2 b2 c2     2    *   2 a  ab b  bc ac  c ab  b bc  c ca  a   Áp dụng bđt Cosi dạng phân thức (Svac-xơ), ta có : a b c 2  a  b  c  a2 b2 c2  2     2 2  a  3ab b  3bc 3ac  c  a  b  c  3ab  3bc  3ac 2  a  b  c  a2 b2 c2   2     ** 2  a  ab b  bc ac  c a  b  c  ab  bc  ac       Áp dụng BĐT Cô si cho cặp số thực dương a, b; b, c; a, c ta : a  b 2ab; b  c 2bc; c  a 2ac  2a  2b  2c 2ab  2bc  2ac  a  b  c ab  bc  ac  a  b  c  2ab  2bc  2ac 3ab  3bc  3ac   a  b  c  a  b  c 3ab  3bc  3ac  ab  bc  ac    a  b  c   ab  ac  bc  a  b  c  2  a  b  c  a  b  c  4 a  b  c  2  a  b  c     ***  a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c  * ,  ** ,  ***  a  b ab  b bc  c Từ Dấu " " xảy a b c  c ca  a  2