SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN x x x x x x 1 x 39 Q x x x x x 10 x Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ P : y x Oxy , Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng cho parabol đường thẳng d : y mx (với m tham số) Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB (đơn vị diện tích) Câu (4,0 điểm) 2 x x 11 x x 1 a) Giải phương trình x y y x2 y x2 y x y y x b) Giải hệ phương trình : a b 2021 Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn b c 2021 số hữu tỷ a b c số nguyên tố Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn O Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC cắt H , EF cắt O P, Q P cung AB a) Chứng minh tam giác APQ cân b) Chứng minh DH DA DE.DF c) Lấy điểm M đối xứng với điểm P qua AB, điểm N đối xứng với điểm Q qua AC Chứng minh MN / / BC Cho đường tròn I nội tiếp tam giác ABC , I tiếp xúc với ba cạnh BC , CA, AB điểm D, E , F Gọi M trung điểm BC Chứng minh đường thẳng AM , EF , DI đồng quy Câu 6.(2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương, tùy ý Chứng minh rằng: a ab b b bc c c ca a 2 ĐÁP ÁN x x x x x x 1 x 39 Q x x x x x 10 x Câu Cho biểu thức a) Rút gọn Q ĐKXĐ: x 4; x 1; x 0 , ta có : x x x x x x x 39 Q x x 1 x 2 x1 x 2 x x 5 x x 1 x x x x 1 x x x x 39 x 5 x x 1 x x x x 4 x 39 x 39 x 1 x 2 x 2 x 5 x 1 x x x 5 x x 39 x 5 b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ Với x 4; x 1; x 0 , ta có: x 39 x 25 64 64 64 x 5 x 5 10 x 5 x 5 x 5 x 5 64 x 5; x ta : Áp dụng BĐT Co-si cho hai số dương Q x 5 64 2 x 5 64 x 5 Vậy Q 6 x 9 Câu Q 6 x 5 x 5 64 16 Q 16 10 6 x 5 x 8 x 9(tm) +)Xét phương trình hồnh độ giao điểm P d : x mx x 2mx 0 1 P cắt d hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ' mà ' m với m Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) A x1; x12 , B x2 ; x22 P cắt d x1 x2 * x1 x2 2m Áp dụng định lý Vi-et, ta có : Gọi M , N hình chiếu A, B trục Ox Vì x1.x2 , khơng tính tỏng quát, ta giả sử x1 x2 x2 x1 SOAB S ABNM SOAM SOBN 1 1 S ABNC x12 x22 x2 x1 x12 x22 x2 x1 2 2 1 x13 x23 x1 x2 x1 x2 4 1 1 1 S AMO x12 x1 x13 ; S BNO x22 x2 x32 2 2 1 SOAB x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 5 x2 5 x1 ** SOAB 5 4 x1 x1 x12 x1 0 x1 x2 x2 5 x1 x2 5 x1 x2 5 x1 Từ (*) (**) x1 0(tm) m x x m x2 4 0(tm) x 0(tm) 2m x x m 1 x2 1 0(tm) m Vậy Câu 2 a) Giải phương trình x x 11 x x Đặt x t t 0 , phương trình có dạng 2 t x t x 10 0 có x x 10 x 3 0, với x t x t 5 Phương trình có hai nghiệm Th1: t x Th2 : t 5 x 2 x x 2 x x x x 2 x 2 x 5 x 24 x 2 7; 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x y y x y 1 x2 y x y y x 2 b) Giải hệ phương trình ĐKXĐ: x 1; y 1 Ta có : 2 2x y y x x y x y y x x y Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm, ta : x2 y y2 4x 2 x y 4 ; y 4x 4 2 x2 y2 4x y x2 y 2 2 x y x y x y x y x y 0 x y x y 0 * Mặt khác : 1 x y x2 y xy y x x y x y x y xy y x y x y 2 x y 2 x y xy y x y xy y x y x y 0 ** x y 0 x y 0 (3) * , ** x 2 y (4) y 2 x Từ Th1: x y, thay vào phương trình 3 , x y 2 1(tm) Th2: x 4 y , thay vào phương trình (3), (4) y 3 y 4 y 1 y y 16 4 y y 4 y y y 12 0 y 3 y 12 y 20 0 y y 12 0 y 3 y 2 y 2 x 2 1(tm) y 10 y 2 y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 2;2 a b 2021 2 Câu Tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn b c 2021 số hữu tỷ a b c số nguyên tố a b 2021 a b 2021 b c 2021 b 2021c b c 2021 Ta có : số hữu tỉ 2021 b c số hữu tỉ 2021 ab 2021bc ac b a b 2021 b c 2021 a b Mà ac b 0 b ac Ta lại có : 2 a b2 c a c 2ac b a c 2b b 2 a c b a c b a c b 2021, a; b; c 2 Mặt khác, a b c số nguyên tố với a, b, c a c b 1 a b c 1 Nên ta có : TH 1: a b c 1, a, b, c a b c 1(ktm) a c b 1 a c b Th2 : * 2 2 a b c a b c a b c 2 Có a b c a b c a a 1 b b 1 c c 1 0 Mà a, b, c a a 1 0; b b 1 0; c c 1 0 a 1 b 1 c 1 ; ; ; a 0 b 0 c 0 kết hợp với * a b c 1 2 Thử lại ta có : a b c 3 a b c 1(tm) Vậy a b c 1 Câu 1) B x P D M F A N H E O C Q a) Có BE AC , CF AB AEH AFH 90 AEHF nội tiếp AEF AHF (cùng chắn cung AF ) Mà CHD AHF (đối đỉnh) AEF CHD Mà CHD FBC (cùng phụ với HCD ) AEF FBC AEP ABC sd AP sdQC Lại có (góc trong) 1 ABC sd AC sd AQ sdQC 2 (nội tiếp) AP AQ APQ cân A AEP b) Chứng minh tương tự phần a, ta BFHD, CEHD tứ giác nội tiếp FDH FBH (cùng chắn cung FH ), EDH ECH (cùng chắn EH ) FBH ECH (cùng phụ với BAC ) FDH EDH FDA EDH 1 Lại có FAD HCD (cùng phụ với ABC ); HCD HED (cùng chắn HD ) FAD HED DA DF DH DA DE DF DE DH Từ (1), (2) c) M đối xứng với P qua AB, N đối xứng với Q qua AC AP AM , AN AQ Mà AP AQ (vì APQ cân A) AP AM AN AQ FDA ∽ HDE ( g g ) PMNQ tứ giác nội tiếp PQN PMx BE AC BE / / QN PQN FEB PMx FEB 1 QN AC Có : Có BFC BEC 90 BFEC tứ giác nội tiếp FEB FCB (cùng chắn cung FB ) Từ (1) (2) FCB PMx Lại có FC AB, PM AB FC / / PM BC / / Mx BC / / MN 2) A H F K E J I B D M C Gọi EF cắt DI K, vẽ đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC H J Ta có : DI BC.HJ / / BC IK HJ Từ IKHF tứ giác nội tiếp (vì IKH IFH 180 ) KHI KFI (cùng chắn cung KI ) Tương tự KJI KEI Mà KFI KEI EIF cân I) KHI KJI HIJ cân I Mà IK HJ K K trung điểm HJ HK ' AK ' K ' J HK ' K ' J BM AM CM HJ AM K ' Ta giả sử cắt theo Ta let ta có: (vì MB MC ) AM cắt HJ trung điểm HJ AM qua K AM , EF , DI đồng quy Câu +)Áp dụng BĐT Cosi với số a, b dương, tùy ý, ta có : 2a a b 3b a 2 a 2a 2a 2b a b a 3b ab b 2 ab b 2b a b Áp dụng tương tự ta có : b bc c 2b a ab b 2c b c b 2b c 2c 2c ; b 3c ca a 2a c a 3a c c bc c ca a 2a 2b 2c a 3b b 3c 3a c a2 b2 c2 2 * 2 a ab b bc ac c ab b bc c ca a Áp dụng bđt Cosi dạng phân thức (Svac-xơ), ta có : a b c 2 a b c a2 b2 c2 2 2 2 a 3ab b 3bc 3ac c a b c 3ab 3bc 3ac 2 a b c a2 b2 c2 2 ** 2 a ab b bc ac c a b c ab bc ac Áp dụng BĐT Cô si cho cặp số thực dương a, b; b, c; a, c ta : a b 2ab; b c 2bc; c a 2ac 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac a b c ab bc ac a b c 2ab 2bc 2ac 3ab 3bc 3ac a b c a b c 3ab 3bc 3ac ab bc ac a b c ab ac bc a b c 2 a b c a b c 4 a b c 2 a b c *** a b c ab bc ca a b c * , ** , *** a b ab b bc c Từ Dấu " " xảy a b c c ca a 2