SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút Ngày thi: 10/4/2021 Câu (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau : 3 12 A 13 30 ; B 4 27 3 12 4 27 b ) Tìm giá trị tham số m để phương trình x 1 x mx m 0 có hai nghiệm phân biệt Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình : x 3 x 4 x x y xy y 0 2 x y x y 10 y 0 b) Giải hệ phương trình : Câu (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 6cm, điểm M nằm cạnh BC a) Khi BM 2cm, hạ OK vng góc với AM K Tính độ dài đoạn thẳng OK b) Khi điểm M thay đổi cạnh BC ( M không trùng B C ), điểm N thay đổi cạnh CD cho MAN 45 , E giao điểm AN BD Chứng minh tam giác AEM vuông cân đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Câu (4,5 điểm) Cho hai đường tròn O; R O '; r tiếp xúc A R r Dựng hai tiếp tuyến OB, O ' C hai đường tròn O '; r , O; R cho hai tiếp điểm B, C nằm phía đường thẳng OO ' Từ B vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt O ' C K, từ C vẽ đường thẳng vng góc với OO ' cắt OB H a) Gọi D giao điểm OB, O ' C Chứng minh DO.BO ' CO.DO ' DA tia phân giác ODO ' b) Đường thẳng AH cắt đường tròn O; R E ( E khác A) Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn c) Đường thẳng AK cắt đường tròn O '; r F F A , L giao điểm BC EF Chứng minh BF / /CE điểm A, D, L thẳng hàng Câu (5,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : x3 y x y 3xy x 0 b) Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 A x yz y zx z xy ĐÁP ÁN Câu a) Ta có : A 13 30 13 30 13 30 2 13 30 53 Đặt 21 43 30 5 2 12 a 4 27 3 12 ,b 4 27 4 12 12 27 a b3 2 3; ab a b3 2 a b 3ab a b 2 3 a b a b 2 3 a b a b a b 0 a b a b a b 0 a b 2 a 0, b B 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x Điều kiện : x 1 x mx m 0 x 1 m 0 x m m2 x x 1(tm) x m 0 x m m 0 m2 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Câu m 0 m 1 a) Giải phương trình : x 3 x 4 x 3 x 0 x 4 x 0 Điều kiện : x 3x 4 x Do 2x x 3 x 1 * x x 0 vô nghiệm nên pt (*) tương đương với phương trình : 2x 4 x 3x 1 x 1 x x x 1 2x x 3x 0 2x x x x 4 *)3 x 0 x (tm) *) x x 4 x x 9 x x 3 x 38 x 33 0 11 (tm) x 11 x ; x ; x 3 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x y xy y 0 2 x y x y 10 y 0 b) Giải hệ phương trình : x y xy y 0 x 1 y x y y * 2 2 x y x y 10 y x y x y 10 y Nhận xét y 0 không thỏa hệ Khi y 0 Hệ phương trình (*) tương đương với hệ : x2 y x y ** x 3 x y 10 y x2 a; x y b; y Đặt đó, hệ (**) trở thành a a , b 2 b 1 Giải hệ tìm : a b 2a b 10 x2 a ) y b 2 x y 2 x 1 x hoac y y x2 a ) y b x y 1 17 17 x x 2 hoac x 17 y 17 2 Câu a) Khi BM 2cm, hạ OK AM K Tính độ dài đoạn thẳng OK A B O K Q D M P C Gọi Q giao điểm AM , BD P trung điểm MC Suy OP / / AM Trong tam giác OBP có MB MP MQ / /OP Suy Q trung điểm OB BD 6 OQ 1 1 , 2 2 OK OA OQ 18 b) Chứng minh AEM vuông cân đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định OQ A D E N I F B H M C MAN MBE 45 Suy tứ giác ABME nội tiếp Mà ABM 90 nên AEM 90 Vậy tam giác AEM vuông cân E Gọi F giao điểm AM , BD Tương tự suy AFN 90 Gọi I giao điểm EM , FN H giao điểm AI MN Suy AH vng góc với MN Xét hai tam giác vng ABM AHM có : AM chung , AMB AEB, AEB AMH (vì tứ giác MNEF nội tiếp) Do AMB AMH Suy ABM AHM AH AB 6cm (khơng đổi) Do MN ln cách A khoảng cách 6cm Suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm A, bán kính 6cm Câu E C L B D K H O A F O' a) Xét hai tam giác ODC O ' DB có : ODC O ' DB Tứ giác OO ' BC nội tiếp đường tròn đường kính OO ' nên DOC DO ' B Suy hai tam giác ODC O ' DB đồng dạng, : DO CO DO.BO ' CO.DO ' DO ' BO ' DO CO AO Suy DO ' BO ' AO ' Ta có : DA tia phân giác ODO ' b) Chứng minh tứ giác OABE nội tiếp đường tròn OCH OO ' C (cùng phụ O ' CH ) , OO ' C OBC (cùng chắn cung OC) Suy OCH OBC Suy OCH ∽ OBC ( g.g ) OC OB OA OB OHA ∽ OAB OH OC OH OA OAH OBAhay OEA OBA Vậy tứ giác OABE nội tiếp đường tròn c) Chứng minh BF song song với CE điểm A, D, L thẳng hàng EOB EAB 180 OAE O ' AB 180 OBA O ' BA 90 Mà OBO ' 90 nên OE / / O ' B Tương tự O ' F / / OC EOC BO ' F Lại có EOC BO ' F cân ECO BFO ' Hơn OE / / O ' B nên BF / / EC (lưu ý : O ' B / / OE ) LC EC OE OA DC LB BF O ' B O ' A DB Suy DL tia phân giác BDC Suy A, D, L thẳng hàng Câu a) x3 y x y 3xy x 0 x3 3x x 1 y y y 1 xy 3x y 0 3 x 1 y 1 x 1 y 1 0 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 0 Đặt a x y y 1 , b x 1 y 1 Khi ta có : a 3ab 3b 0 a 3b a 1 a a 1 a 1 4 a 1 Suy 32 11 a a b (ktm) a a b ( ktm) 3 a 2 a 1 b (ktm) a 1 a 0, b x; y 0;0 ; 2;2 a 4 a 3 b 2 x; y 0;3 ; 1;2 a a 3; b 5(ktm) ậy V x; y 0;0 ; 2;2 ; 0;3 ; 1;2 A 1 x yz y zx z xy b) Tìm giá trị lớn biểu thức 1 x y z A x yz y zx z xy x y z Ta có: x x 1 2 x Tương tự : x x 1 x2 2x x 1 y 1 z 1 1 1 , y 2 y z 2 2z 1 1 A 2 2x 1 y 1 2z 1 Suy a b c x , y , z a, b, c b c a Đặt 1 b c a x y z 2a b 2b c 2c a b2 c2 a2 a b c 1 2ab b 2bc c 2ca a 2ab b 2bc c 2ca a A 1 x y z 1 2 Suy Vậy Max A 1