SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi 30/3/2010 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Ngày thi : 30/3/2010 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy b) Cho biểu thức với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên Bài : (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – b) Tính giá trị biểu thức M = x3 – 6x với x = Bài : (5,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Bài ( 5,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC; < 900), đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC B C Trên cung BC nằm tam giác ABC lấy điểm M Gọi I; H; K hình chiếu M BC; CA; AB P giao điểm MB với IK, Q giao điểm MC với IH a) Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc HMK b) Chứng minh PQ // BC c) Gọi (O1) (O2 ) đường tròn ngoại tiếp MPK MQH Chứng minh PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2 ) d) Gọi D trung điểm BC; N giao điểm thứ hai (O 1),(O2 ) Chứng minh M,N,D thẳng hàng Bài ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh : - HẾT Ghi : Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Môn : TOÁN QUẢNG NGÃI Bài Câu a 2điểm Bài giải Điểm 2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33 (y – 3)(2x – 5) = 33 = 1.33 = 3.11 = (-1).(-33) = = (-33) (-1) = (-3).(-11) = (-11).(-3) Ta xét trường hợp sau : 0,75đ Ta có: * * * * 0,5đ Các cặp số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức Vậy cặp số cần tìm : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) Các trường hợp lại giải khơng thoả mãn tốn 4điểm b 2điểm 0,5đ 0,25đ 0,25đ Vì a chẵn nên a = 2k Do 0,5đ 0,25đ Ta có : Ta chứng minh : Thật : - Nếu k = 3n (với - Nếu k = 3n + (với - Nếu k = 3n + (với Với ) ) ) Mà (2, 3) = a 2điểm 4điểm 5điểm b 2điểm a 2,5điểm 0,75đ chia hết cho cho Vậy A có giá trị nguyên 0,25đ a) 2x3 – 9x2 + 13x – = 2x3 – 2x2 – 7x2 + 7x + 6x – = 2x2(x -1) – 7x(x – 1) +6(x – 1) = (x – 1)(2x2 – 7x + 6) = (x – 1)(x – 2)(2x – 3) Đặt u = ;v= Ta có x = u + v u.v = 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,25đ x=u+v hay 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ = 40 + 6x Vậy M = 40 PT: (1) ĐKXĐ: Chứng minh được: Dấu “=” xảy x–2=6–x x = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b 2,5điểm Dấu “=” xảy (x – 4)2 = Phương trình (1) xảy x=4 Giá trị x = : thỏa mãn ĐKXĐ Điều kiện: x - =0 x=4 0,5đ 0,25đ Vậy: 0,25đ 0,25đ 0,25đ Giải (2) ta được: Thay xy = vào (1) ta x + y = (5) Từ (5) (3) ta được: Thay xy = ( thoả mãn ĐK) vào (1) ta x + y = Từ (6)và(4) ta được: (6) (thoả mãn ĐK) 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy hệ cho có nghiệm là: 0,25đ A 5điểm O2 N K H O1 M P B Q E I E' D O C a 1.0điểm b 1,5điểm a) Chứng minh tia đối tia MI phân giác Vì ABC cân A nên Gọi tia đối tia MI tia Mx Ta có tứ giác BIMK tứ giác CIMH nội tiếp Vậy Mx tia phân giác của b) Tứ giác BIMK CIMH nội tiếp 0,5đ 0,25đ Mà ( ( ) ) ( tổng ba góc tam 0,25đ Ta lại có giác) 0,25đ Do tứ giác MPIQ nội tiếp ( Mà d 1,25điểm 0,25đ ) ( PQ// BC c) Ta có mà ) ( 0,5đ ) ( c/minh b) Hai tia QP;QH nằm khác phía QM PQ tiếp tuyến đường tròn (O2) tiêp điểm Q (1) Chứng minh tương tự ta có PQ tiếp tuyến đường trịn (O1) tiêp điểm P (2) (1) (2) PQ tiếp tuyến chung đường tròn (O 1) (O2) d) Gọi E; E’lần lượt giao điểm NM với PQ BC Ta có PE2 = EM EN ( PEM NEP ) QE = EM EN ( QEM NEQ ) 2 PE = QE ( PE;QE >0) PE = QE Xét MBC có PQ // BC ( c/m b) nên: 0,5đ 0,5đ 0,25đ S S c 1,25điểm 0,5đ 0,5đ ( định lí Ta Lét) Mà EP = EQ E’B = E’C E’ D Suy N, M, D thẳng hàng 0,75đ A P N O B Từ A O kẻ AH OK AH // OK Nên K H BC BC (H, K C M BC) 0,25đ (1) 0,25đ 2điểm (2) (1) , (2) Tương tự : Nên (3) 0,75đ Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được: (a+ b + c) ( ) Nên ( (4) Từ (3) ,(4) suy : (đpcm) 0,75đ Ghi chú: - Hướng dẫn trình bày cách giải Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo câu, - Đáp án có chỗ cịn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ chưa chi tiết cho bước lập luận, biến đổi Tổ giám khảo cần thảo luận thống trước chấm - Điểm tồn khơng làm trịn số