PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 2013 Môn Toán 9 Thời gian 120 phút Câu 1 (4 điểm) a) Chứng minh là một số nguyên b) Rút gọn biểu thức[.]
UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN PHỊNG GD & ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh: số nguyên b) Rút gọn biểu thức: C = sin +sin230+…+sin2880 Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: 3x2 + 4x + 10 = b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x.y - x - y = c) Chứng minh 3n + khơng số phương (với ) Câu 3: (4 điểm) a) Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: b) Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB, CD cho tiếp tuyến A cắt đường thẳng BC, BD thứ tự E F Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng EA AF a) Chứng minh O trực tâm tam giác BEQ b) Chứng minh đường vng góc với BQ kẻ từ P qua trung điểm đoạn thẳng OA c) Hai đường AB CD có vị trí tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ theo R Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức: BC2 + AB.AC - AB2 = Tính: Chú ý:- Thí sinh bảng B khơng phải làm câu 2c - Thí sinh khơng sử dụng máy tính -Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG A Câu (4đ) Ý Nội dung Biểu điểm a 2đ Do số nguyên nên ta có đpcm b 2đ Ta biết: Với < α < 900 Ta có sinα = cos(900-α), sin2α + cos2α = C = sin220 + sin230 + … + sin2880 C = (sin220 + sin2880) + + (sin2440 + sin2460) + sin2450 C = (cos2880 + sin2880) + + (cos2460 + sin2460) + sin2450 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 C = 1+1+ +1+ = 0,5 ĐKXĐ: 3x2 + 4x + 10 = 0,5 =0 a 2đ 0,5 0,5 (thỏa mãn) Ta có: x.y - x - y = 2 (6đ) x.( y -1) - y = x.(y - 1) - (y - 1) = (x -1).(y - 1) = Do x, y số nguyên nên x -1, y-1 số nguyên ước Suy trường hợp sau: b 2đ ; ; ; 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 Giải hệ ta có nghiệm phơng trình : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) -Với n = 2k+1 (k ), ta có: (m ), khơng phải scp 2k - Với n = 2k, giả sử +4 = p , suy p lẻ nên p có dạng c 2đ a Điều vô lý suy đpcm Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm a, b+c ta có: 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 1,0 2đ 1,0 0,5 Ta có 0,25 Mặt khác, với x, y, z > (4đ) b 2đ Ta có 0,5 0,25 Vậy 0,25 Vậy P đạt giá trị lớn (5đ) 0,25 Vẽ hình B D O C E a 2đ b 2đ c 1đ H P A Q F Do Q O trung điểm cạnh AF AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE Vì BA EQ nên O trực tâm tam giác BEQ Đường thẳng qua P BQ cắt AB H, dễ thấy PH//EO Vì P trung điểm EA nên H trung điểm AO Ta có: Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên Dấu “=” xảy AE = AF hay tam giác BEF vng cân tai B Khi AB CD 1,0 1,0 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 C A B D Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = (1đ) 0,25 Nªn AB > AC Trên AB lấy D cho AC = AD BD = AB – AC ~ Mặt khác: Ta có (1) 0,25 (2) (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) có : 0,25 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BẢNG B Câu (4đ) Ý Nội dung Biểu điểm a 2đ Do số nguyên nên ta có đpcm b 2đ Ta biết: Với < α < 900 Ta có sinα = cos(900-α), sin2α + cos2α = C = sin220 + sin230 + … + sin2880 C = (sin220 + sin2880) + + (sin2440 + sin2460) + sin2450 C = (cos2880 + sin2880) + + (cos2460 + sin2460) + sin2450 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 C = 1+1+ +1+ = 0,75 ĐKXĐ: 3x2 + 4x + 10 = 0,75 =0 a 3đ 0,75 0,75 (thỏa mãn) Ta có: x.y - x - y = x.( y -1) - y = x.(y - 1) - (y - 1) = (x -1).(y - 1) = Do x, y số nguyên nên x -1, y-1 số nguyên ước Suy trường hợp sau: (6đ) b 3đ ; ; ; 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 (4) Giải hệ ta có nghiệm phơng trình : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số khơng âm a, b+c ta có: a 2đ b 2đ 1,0 1,0 Ta có 0,5 0,25 Mặt khác, với x, y, z > Ta có 0,5 Vậy 0,25 Vậy P đạt giá trị lớn 0,25 0,25 Vẽ hình B D O C E (5đ) a 2đ b 2đ c 1đ H P A Q F Do Q O trung điểm cạnh AF AB nên OQ//BF Suy ra: OQ BE Vì BA EQ nên O trực tâm tam giác BEQ Đường thẳng qua P BQ cắt AB H, dễ thấy PH//EO Vì P trung điểm EA nên H trung điểm AO Ta có: Vì AE.AF = AB2 = 4R2 nên Dấu “=” xảy AE = AF hay tam giác BEF vng cân tai B Khi AB CD 1,0 1,0 1,0 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 C A B D Tõ BC2 + AB.AC - AB2 = (1đ) 0,25 Nªn AB > AC Trên AB lấy D cho AC = AD BD = AB – AC ~ Mặt khác: Ta có (1) 0,25 (2) (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) có : 0,25