Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN.[r]
(1)Trêng tHCS Hång Hng đề thi học sinh giỏi M«n : To¸n líp Thêi gian lµm bµi 150 phót C©u 1: ( ®iÓm ) So s¸nh : 2008 2009 + √ 2009 √ 2008 vµ √ 2008+ √ 2009 1 1 Cho biÓu thøc B= + + + + Chøng minh r»ng B> 86 √1 √2 √3 √ 2010 C©u 2: ( ®iÓm ) Rót gän biÓu thøc M C©u 3: ( ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x −1+2=x T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n y=√ x 2+ x +5 C©u 4: (3,0 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M, trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm N Tia AM cắt đờng thẳng CD K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD I Chøng minh : 1 + = 2 AM AK AB BiÕt gãc MAN cã sè ®o b»ng 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN Tõ ®iÓm O tam gi¸c AIK kÎ OP, OQ, OR lÇn lît vu«ng gãc víi IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP 2+OQ +OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u 5: ( 1,0 ®iÓm ) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ≤ a , b , c ≤ vµ a+b +c=3 Chøng minh r»ng: a3 +b 3+ c ≤ (2) §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm đề thi chọn học sinh giỏi M«n : To¸n líp Trêng THCS Hång Hng C©u ý Néi dung §iÓm Ta cã: 1,0® C©u 2,5 ® 1,5® 2008 2009 2009 −1 2008+1 + = + √ 2009 √ 2008 √ 2009 √2008 1 ¿( √ 2008+ √ 2009)+( − )>0 √ 2008 √ 2009 2008 2009 + VËy > √ 2008+√ 2009 √ 2009 √ 2008 1 1 B= + + + + √1 √2 √ √ 2010 2 2 B= + + + .+ √ 1+ √ √ 2+ √ √ 3+ √ √ 2010+ √ 2010 2 2 + + + + √1+ √ √ 2+ √ √ 3+ √ √ 2010+ √ 2011 ¿ 2.( √2011 −1)>2 43=86 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Rót gän biÓu thøc M M 4 M C©u 1,0® M 82 1 1 M 0.25 8 0.25 4 1 0.25 0.25 71 M C©u 2,5® √ x −1+2=x ⇒ √ x −1=x −2 1,0® 1,5® §K : x ≥ x=1 ¿ x =5 ¿ ¿ ¿ ¿ √ x − 1=x −2 ⇔ x −1=x2 − x+ ¿ ⇔ x2 −6 x +5=0 ⇔( x −1)(x − 5)=0 ¿ ⇔ §K : x ∈ R , y >0 y=√ x + x +5 Bình phơng hai vế ta đợc x+2 ¿ +1 ¿ ⇔ ( y + x+ 2)( y − x −2)=1 ¿ y =¿ Do x, y nguyªn vµ y d¬ng nªn ta cã: 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) ¿ y + x+ 2=1 y − x − 2=1 ⇔ ¿ x=− y =1 ¿{ ¿ A B M H I D N C K Ta cã 0,25 Δ ABM=Δ ADI ⇒ AM=AI(1) C©u 3,0® 1,0® 1,0® Trong tam gi¸c AIK vu«ng t¹i A ta cã: 1 + = (2) vµ AB = AD 2 AI AK AD 1 + = Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2 AM AK AB KÎ AH vu«ng gãc víi MN (H ∈MN) Do CM + CN =7 vµ CM - CN = ⇒ CM = 4; CN = ⇒ MN = Ta cã Δ AMN=Δ AIN ⇒ AH=AD ⇒ IN=MN Δ AMH=Δ AID ⇒ ID=MH mµ ID=BM⇒ MH=BM Ta l¹i cã : DN+ BM=MN=5 vµ CM+BM=CN +DN ⇒ DN −BM=CM −CN=1 ⇒ DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 1 S Δ AMN = AH MN= 5=15(cm 2) ⇒ 2 0,5 Tõ gi¶ thiÕt ta cã AQOR lµ h×nh ch÷ nhËt 0,25 0,5 1,0® C©u 1,0® OA+ OP ¿ ¿ ¿ OP2+OQ +OR 2=OA +OP ≥ ¿ OP 2+OQ +OR nhá nhÊt O lµ trung ®iÓm cña AD V× vai trß cña a,b,c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sử : a ≤ b ≤ c Khi đó vì ≤ a , b , c ≤ và a+b +c=3 nên ta cã ≤ a ≤1 ⇒ a3 ≤ a MÆt kh¸c 1≤ c ≤2 ⇒(c − 1)( c −2)(c +3)≤ ⇒ c3 ≤7 c −6 Ta xÐt hai trêng hîp cña b: Nếu ≤ b ≤1 ⇒ b3 ≤ b Khi đó 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) 3 a +b + c ≤ a+b +7 c − 6=a+b+ c+ c − ≤3+6 −6=9 3 ⇒a + b +c ≤ Nếu 1≤ b ≤ 2⇒ b3 ≤7 b − Khi đó a3 +b 3+ c ≤ a+7 b − 6+7 c −6=7(a+b+ c)− a −12=9 −6 a ≤ VËy a3 +b 3+ c ≤ ( ®pcm) 0,25 (5)