UBND HUYỆN BÌNH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC.. 3 điểm: Một người đi bộ từ nhà đến sân ga.[r]
(1)UBND HUYỆN BÌNH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): 1 x - x x - với x > Chứng minh: Từ đó, cho biết biểu thức x - x có giá trị lớn là bao nhiêu? Giá trị đó đạt x bao nhiêu? Bài (3 điểm): Một người từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người đó 700m và thấy đến sân ga chậm 40 phút, vì trên quãng đường còn lại, người với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga Bài (4 điểm): a) Chứng minh với số nguyên n thì n2 + n + không chia hết cho b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012 Bài (2 điểm): Giải phương trình: 1 x - x3 1 - 3x Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài là BH = 4cm và HC = 9cm Gọi T và E là hình chiếu H trên cạnh AB và AC a) Tính độ dài TE b) Các đường thẳng vuông góc với TE T và E cắt BC theo thứ tự M và N Chứng minh M là trung điểm BH, N là trung điểm CH c) Tính diện tích tứ giác TENM Bài (3 điểm): Cho hình bình hành ABCD có A = 1200 , AB = a, BC = b Các đường phân giác bốn góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác MNPQ Tính diện tích tứ giác MNPQ? HẾT UBND HUYỆN BÌNH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN (2) NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Câu Điểm Nội dung 1 1 x - x - x - x 2 2 Ta có: x 1 Vậy: x- 1 x x - 2 1,0 1 x- ≥ và dấu xảy Ta có: x 1 x hay 0,5 0,5 1 x x- ≥ và dấu xảy Do đó x Vậy x - x có giá trị nhỏ là và giá trị này đạt x Suy x - x có giá trị lớn là và giá trị này đạt 1,0 1,0 0,25 * Gọi x (km) là quãng đường còn lại, x > 0; 12 0,7 : 60 = 3,5km/h 0,25 Vận tốc trên quãng đường 700m là: * Gọi t là thời gian quy định từ nhà đến sân ga x 40 40 t 60 Vận tốc 3,5km/h chậm 40 phút hay 60 Ta có 3,5 x t 60 Vận tốc 5km/h đến sớm phút Ta có x x - 3,5 Từ (1) và (2) ta có phương trình: (3) (1) 0,5 (2) a Giả sử: (n2 + n + 1) Suy ra: (n2 + n + 1) Ta có: n2 + n + = (n – 1)(n + 2) + Suy (n – 1) (n + 2) Mà (n + 2) – (n – 1) = nên hai số (n + 2) và (n – 1) chia hết cho Do đó (n – 1)(n + 2) Suy n2 + n + chia dư 3, mâu thuẩn với (1) Vậy n2 + n + không chia hết cho với số nguyên n 0,5 0,5 Giải phương trình (3) ta x = 8,75 (km) Vậy quãng đường từ nhà đến ga là: 8,75km + 0,7km = 9,45km = 9450m 0,5 0,5 (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) b Ta có: x4 +2012x2+2011x +2012 = x4 + x3 + x2 + 2011(x2 + x + 1) – (x3– 1) = x2(x2 + x + 1) + 2011(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 2011 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2012) Vậy x4 +2012x2+2011x +2012 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2012) 1 x - x3 1 - x 4 (1) 2 2 x - 3x - 3x x x - x 1 1 x - x 3x - x Ta có: Thay (2) vào (1) ta có: (1) 2,0 x - x - x 3x - x 1 (2) (3) 2 Đặt y x , với y ≥ Suy x y - Thay vào (3): y - y - y x - x 1 2 y y - 1 - - y 3x - x 1 0 y - 0 y y 1 3x - x 1 0 y y y 1 3x - x 1 0 * Với y = thì x = thỏa mãn phương trình * Với y ≠ và y ≥ 1, ta có: y y 1 x - x 1 0 (4) 2 1 3x - x 3 x - - 3 3 và y > thay vào vế trái (4) Vì y - y 1 13 13 y - 1- 36 36 lớn 2,0 Do đó (4) vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x = a Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có: ABH CAH (vì cùng phụ với góc BAH ) E Do đó ∆ABH ∽ ∆CAH (g.g) AH BH Suy ra: CH AH AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 36 = (cm) Mặt khác: HT AB và HE AC AH = nên ATHE là hình chữ nhật Suy ra: TE = AH = (cm) Vẽ hình đúng ghi 0,5 A O T B M C H N 1,0 (4) b Gọi O là giao điểm đường chéo hình chữ nhật ATHE; MHT Xét tam giác MTH có: MTH (vì cùng phụ với OTH OHT ) Suy tam giác MTH cân M, đó MT = MH MBT MHT Ta có MTB (vì cùng phụ với MTH ) Suy tam giác MTB cân M, đó MB = MT Từ (1) và (2) suy M là trung điểm BH (1) (2) Xét tam giác NEH có: NEH NHE (vì cùng phụ với OEH OHE ) Suy tam giác NEH cân N, đó NE = NH c 1,0 (3) Ta có NEC NCE (vì cùng phụ với NEH NHE ) Suy tam giác NEC cân N, đó NE = NC Từ (3) và (4) suy N là trung điểm HC Theo chứng minh trên ta có: (4) 0,5 1 1 TM = MH = BH = = (cm); EN = NH = CH = = 4,5 (cm); TE = AH = (cm) TENM là hình thang vuông, đó diện tích là: 1,0 1 STENM = (TM + EN)TE = (2 + 4,5).6 = 19,5 (cm2) ADC DAB Ta có: 120 (gt) nên 60 Đường phân giác góc A cắt đường phân giác góc D M thì tam giác ADM có hai góc 600 và 300 nên các đường phân giác đó vuông góc với Lập luận tương tự chứng tỏ tứ giác MNPQ có góc vuông nên nó là hình chữ nhật Trong tam giác vuông ADM có DM = ADsin DAM = bsin600 = A B Vẽ hình đúng ghi 0,5 N M P Q 1,0 C D b Trong tam giác vuông DCN có DN = DCsin DCN = asin600 Vậy MN = DN – DM = (a – b) a Trong tam giác vuông DCN có CN = CDcos60 = b Trong tam giác vuông BCP có CP = CBcos60 = a- b Vậy NP = CN – CP = a - b = a 0,5 0,5 0,5 (đvdt) Suy diện tích hình chữ nhật MNPQ là: MN.NP = Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng đạt điểm tối đa (5)