Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Gọi E là giao điểm của AM và OK... 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN XUYÊN MỘC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1:(3,0 điểm)
1) Chứng minh số A 6 20151 B 6 20161đều bội 7.
2) So sánh
2016 2017 10 A
10 11
2016 2017 10 B
10
Bài 2: (5,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
2 x x x P
x x x x
với x 0;x 4;x 9 .
2) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2016 2016 Q
1 x x
x
3) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m x m y 1 (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn 2) Cho số dương a, b, c Chứng minh :
a b c
a b b c c a
Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn (M khác A B); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK
1) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường trịn
2) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN = IO
3) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF//AB
Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy cung nhỏ AB (P khác A B) Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B không lớn đường kính đường trịn (O)
HẾT
(2)Số báo danh: ……… UBND HUYỆN XUYÊN MỘC
PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN THI TỐN LỚP
(Hướng dẫn chấm có ……… trang) Bài 1:(3,0 điểm)
1) Chứng minh số A 6 20151 B 6 20161đều bội 7.
2) So sánh
2016 2017 10 A 10 11
2016 2017 10 B 10
Bài 1 Đáp án Điểm
1.1 (1,0đ)
Ta có: A 6 20151 7 0,5
1013
2016 62 1
B 6 1 6 35 7 0,5
1.2 (2,0đ)
Ta có: 10
2016 2017
2017 2017 2017
10.(10 1) 10 11 1
A
10 11 10 11 10 11
(*) 0,75
Và: 10
2016 2017
2017 2017 2017
10.(10 1) 10 1
B
10 10 10
(**) 0,5
Ta thấy 2017
10 11 2017
10 9 nên từ (*) (**) 10A > 10B A > B. ( Trong ý đầu, ý chứng minh trước cho 0,75; ý sau tương tự cho 0,5đ)
0,75
Bài 2: (5,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
2 x x x P
x x x x
với x 0;x 4;x 9 .
2) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2016 2016 Q x x x
3) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 2 Đáp án Điểm
2.1 (2,0đ)
2)
( 3)
2 x (2 x 1)( x ( x 3)( x 3) P
x )( x
2 ( 2)( 1)
( 2)( 3) ( 2)( 3)
x x x x x
P
x x x x x
0,75 0,5x2 +0,25 2.2 (2,0đ)
a) Ta có:
2 2
2
2 2
2 2
2016 2016 (2017 2017) ( 1) Q
1
2017( 1) ( 1) ( 1)
2017 (*)
1 1
x x x x x
x x
x x x
x x x
0,5 0,5 Vì 2 ( 1) x x
(3)Dấu “=” xảy
2 ( 1)
0 1
1 x
x x
x
0,5
Vậy max Q = 2017 x1 0,25
2.3 (1,5đ)
Cách 1:
Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2
6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*)
Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) Mà (6;5) = nên (x2 – 4) 5
0,25 0,25 Đặt x2 – = 5t ( t ) x2 = 5t + Thay vào (*) y2 = 10 – 6t
Vì
2
2
4
0 5
5
0 10
3 t
x x t
t
y y t t
t
t = 1
0,25 0,25
Khi t = thì y2 = 10 (loại vì y )
Khi t = thì
2
9
2
x x
y y
(vì x > 0; y > 0)
0,5 Cách 2:
Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*)
Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) Mà (6;5) = nên (x2 – 4) 5
[(x2 – 4) +5] 5 (x2 +1) 5 (**)
Từ 0 < 6x2 < 74 0 < x2 12 Kết hợp (**) x2 = x2 = Khi x2 = thì y2 = 10 (loại vì y )
Khi x2 = thì y2 = (x = y = 2) (vì x > 0; y > 0)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (3,5 điểm)
1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m x m y 1 (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn 2) Cho số dương a, b, c Chứng minh :
a b c
a b b c c a
Bài 3 Đáp án Điểm
3.1 (2,0đ)
Xét pt: m 4xm 3 y1
Ta thấy: m 4.0m 3.0 0 1 nên (d) qua O(0;0) 0,25 + m = ta y = nên K/c từ (d) đến O y 1
+ m = ta x = - nên K/c từ (d) đến O x 1 1
0,25x2
+m 3;m 4 thì (d) cắt Ox A
,0 m
cắt Oy B 0, m
0,25
Kẻ OH vuông góc với (d) H; ta có K/c từ O đến (d) OH Dựa vào ΔOAB vuông O
2
2
2
1 ( 4) ( 3) 2 1
2 2
m m m
OH
Suy được: OH
0,5 0,25
Suy khoảng cách từ O đến (d) lớn OH = m =
(4)3.2 (1,5đ)
Vì a, b, c số dương (gt) nên ta có: (1)
a a a c
a b c a b a b c
0,5 (2)
b b b a
a b c b c b c a
0,25
(3)
c c c b
a b c c a c a b
0,25
Cộng vế (1), (2) (3), ta có:
a b c
a b b c c a
Lưu ý: HS chứng minh vế cho 0,75đ
0,5
Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn (M khác A B); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK
1) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường tròn
2) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN = IO
3) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF//AB
A B
M
K N
I E
H O
F
Bài 4 Đáp án Điểm
4.1 (1,75đ)
Hình vẽ đến câu 0,25
Chứng minh OK AM E
Dựa vào OAK vuông A OE.OK = OA2 = R2 không đổi.
0,75 0,75
4.2
(1,75đ)
Chứng minh được: OK // BN (AM)
Chứng minh được:AOK = OBN (g.c.g) OK = BN
0,25x2 0,5 + 0,25 Suy OBNK hình bình hành từ suy được: IN = IO 0,5 Chứng minh AOK đồng dạng HBM
2
2
HB MB HB MB AO OK AO OK (1)
Chỉ MB2 = HB.AB OA2 = OE.OK (cma) (2)
(5)4.3
(2,0đ) Từ (1) (2) suy được2
HB HB AB HB AB HB OE
OK OE OK OE OK AB OK (3) 0,5
Chứng minh
FB BK
HB
AB (4)
Từ (3) (4) suy
FB OE
KB OK EF // OB //AB (đl Ta let)
0,25 0,5 Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy cung nhỏ AB (P khác A B) Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B khơng lớn đường kính đường tròn (O)
A
B C
P
Q
1
1
O
1
3
Bài 5 Đáp án Điểm
5 (2,5đ)
Vì ABCđều, P AB nên AP < PC Lấy điểm Q PC cho PQ = PA 0,25 APQ
cân có APQ P 1600(chắn cung 1200) nên APQ
AP = AQ = PQ
0,75 - Chứng minh APB = AQC (c.g.c) PB = QC
Từ PA + PB = PQ + QC = PC Mà PC dây (O) nên PC 2R (đường kính)
1,0
Chứng tỏ tổng khoảng cách từ P đến A từ P đến B không lớn
đường kính đường trịn (O). (đpcm) 0,5