Đang tải... (xem toàn văn)
b Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm N cố định.. THCS TT Nghĩa Đàn..[r]
(1)Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút ) Bài : ( điểm ) a, Chứng minh với số tự nhiên n thì b, n5 - n 10 Giải phương trình : x2 + x + 12 x = 36 Bài : ( điểm ) 1 x y x y 2 xy xy a, Giải hệ phương trình : b, Cho số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2 2 2 A = x xy y y yz z z zx x Bài : ( điểm ) a , Tìm nghiệm đa thức Q ( x ) = x + a x2 + b x + c Biết đa thức có nghiệm và a + 2b + 4c = - b, Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh : 4a 9b 16c 26 P = b c a c a b a b c Bài : ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = cm Có BAC = 600 , đường cao AH = cm a, Tính diện tích tam giác ABC b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N là điểm đối xứng P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí điểm P cho độ dài MN đạt giá trị lớn Tính độ dài lớn đó _HẾT _ Cán coi thi không giải thích gì thêm THCS TT Nghĩa Đàn (2) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh ĐÁP ÁN TÓM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM BÀI Ý NỘI DUNG Ta có : n - n = n ( n – ) = n ( n2 – ) ( n2 + ) = ( n – ) n ( n+1 ) ( n2 + ) (1) ( Vì ( n – ) n là hai số tự nhiên liên tiếp ) Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – ) = n ( n2 – ) ( n2 + ) + Nếu n = 5k thì n5 - n (2) + Nếu n = 5k thì n2 - = (5k 1)2 – = 25k2 10k n5 - n ( 3) + Nếu n = 5k thì n2 + = (5k 2)2 + = 25k2 20k + n5 - n ( 4) Kết hợp ( ) với ( ) , ( ) và ( ) n5 - n 10 với n N Điều kiện : x -1 a 2đ 4đ b 2đ a 3đ Đặt t = x x = t2 - Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = t4 – ( t – ) = ( t - ) ( t + ) ( t2 – t + ) = t 2(tm) t 0(loai) 23 0 ( Vì t2 – t + = ( t- )2 + với t Với t = x = ( thỏa mãn ) ĐIỂM 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ t 0 t 0 0,25 đ Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Điều kiện xy 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1 x y x y 2 xy xy ( x y )(1 xy ) ( xy )2 xy 0 THCS TT Nghĩa Đàn x y ( x y ) xy ( xy ) xy 0 ( x y )(1 ) xy ( xy 2)(2 xy 1) 0 0,5 đ 0,75 đ (3) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh xy 2 (1) x y xy (2) x y ( x y )(1 xy ) xy 2 xy x 1 y 1 x 1 y x x 2 Giải ( 1) ta y 1 ; Giải ( 2) ta y 1 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm : ( ;2 ) , ( ; ) , ( ; ) , ( ; ) Ta có : ( 1) x xy y Tương tự : (2) b 3đ 0,75 đ 3 ( x y)2 ( x y)2 ( x y)2 ( x y) 4 ( x y )2 0 ( Vì ) y yz z ( y z ) z zx x 0,5 đ 0,25 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ ( z x) (3) Cộng hai vế ( ) , ( ) và ( ) ta A 3( x y z ) 3 x y z 3 x y 0 x y z 1 y z Dấu xảy z x 0 Vậy Giá trị nhỏ A = 3 x = y = z = 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài : Từ a + 2b + 4c = - + a + 2b + 4c = a 2đ 1 1 1 a b c 0 2 P(2)=0 Chia hai vế cho ta : Vậy x = là nghiệm đa thức THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ (4) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Đặt x = b + c – a ; y = c + a + - b ; z = a + b - c 0,25 đ 0,5 đ yz zx x y ; b c 2 Khi đó : ; 4( y z ) 9( z x) 16( x y ) x y z Ta có : 2P = y x z 16 x z 16 y x y x z z y = a b 3đ 0,25 đ 0,5 đ Áp dụng Bất đẳng thức CoSi ta có : 0,5 đ y 9x z 16 x z 16 y 2 2 x y x z y z = 52 2P P 26 y 9x x y z 16 x z x z 16 y y z Dấu “ = ” xảy Bài : Vẽ đúng hình : 0,5 đ 0,25 đ 0,75 đ x y 2 3 x y z a b c x z 2 z y 4 3 K N a, Goị M là trung điểm BC ta có : MOC = BAC = 600 0,5đ b, ( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc tâm ) Ta có : AK = AN ( = AP ) AKN cân0 3A P 0,5đ Do OC =AKN R = 2( nên MC = OC Sin 60 = BAP PAC ) = 600 = 1200 Lại có : 0,5đ BC = IC = KN lớn AK lớn ( Do KN là cạnh đáy tam giác cân có 0,5đ góc đỉnh không đổi ) ABC = AH BC = Vì AK =SAP 2R KN lớn và AP = 2R = hay AP là đường Mà kính ABP ACP B,C là trung điểm PK và PN BC là đường trung bình tam giác PKN KN = BC = A O K B THCS TT Nghĩa Đàn M P N C 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (5) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Lưu ý : - Các cách giải đúng mà khác với đáp án cho điểm tối đa - Hình vẽ sai không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình / THCS TT Nghĩa Đàn (6) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu a Phân tích Q thành nhân tử: Q x x 2 x 10 b Tính Q biết x 13 10 Câu Cho hàm số: y x 2m ; với m tham số a Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy H là hình chiếu O trên AB Xác định giá trị m để OH 2 b Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB Câu a Giải phương trình: x x x 5 x 2 b Cho a; b là hai số dương thỏa mãn: a b 6 Chứng minh: 3( a 6) (a b) 2 c Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2008 x 2009 y 2010 0 Câu Cho đường tròn (O; R ) AB và CD là hai đường kính cố định (O) vuông góc với M là điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K và H là hình chiếu M trên CD và AB · · · · a Tính sin MBA + sin MAB + sin MCD + sin MDC b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Hết./ THCS TT Nghĩa Đàn (7) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh THCS TT Nghĩa Đàn (8) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Q x x 2 x 10 x a x x 2 x 2 x 13 10 x 2.2 (2 b Vậy: Q 2 5 2 Điểm 0,5 x 0,5 5) 2 2 2 2.( 5) 10 0,5 0,5 2,0 y x 2m ; với m tham số a Để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 2m 0 m Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A 2m 1; 0; 2m 1 Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B b 0,25 0,5 Ta có: AOB vuông O và có OH là đường cao nên: 0,5 m 0 1 1 2 2 xA yB (2m 1) m OH OA2 OB Hay x x 2m xI A B 2 Hoành độ trung điểm I AB: c Tung độ trung điểm I AB: yI 2,0 0,5 y A yB (2m 1) 2 Ta có: yI xI Quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB là đường 0,25 thẳng y x Điều kiện: x 2 0,2 x x x 1 5 x a x x x 5 x x x x 0 x x x 0 x x 0 ( x 2) 0 x 6 b Vậy nghiệm pt là: x 6 Với a; b là hai số dương ta có: 1 a b 2.a b.1 2a b 1 (Theo Bunhiacopski) THCS TT Nghĩa Đàn 0,2 0,3 0,3 0,25 0,25 2,5 (9) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh (Vì a b 6 ) Hay x xy 2008 x 2009 y 2010 0 a b a c 3(a 6) (a b) x xy x 2009 x 2009 y 2009 1 0,25 x( x y 1) 2009( x y 1) 1 ( x 2009)( x y 1) 1 0,5 x 2009 1 x y 1 x 2009 x y 0,25 x 2010 y 2010 x 2008 y 2010 0,25 C K B O M H A D a Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông M nên: · · · · sin MBA + sin MAB + sin MCD + sin MDC = · · · · (sin MBA + cos MBA ) + (sin MCD + cos MCD )=1 +1=2 0,75 b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,5 P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) OH MH OM R 2 (Pitago) Mà OH.MH c Vậy P 4 R R2 2 R đẳng thức xẩy MH = OH R OH = 3,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 THCS TT Nghĩa Đàn (10) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) NĂM HỌC: 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu Giải phương trình c x 10 x 27 x x d 2011 x 2006 x 2 Câu Cho đường thẳng (d) có phương trình: y 2(1 m) x m m , với m tham số m 2 c Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn qua b Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn Câu d 11 1122 225 n n1 ; B là số gồm n chữ số 1, n + chữ số và chữ Cho B = số Chứng minh B là số chính phương e Cho p là số nguyên tố; p 5 Chứng minh p là số nguyên tố thì: p là hợp số 2 f Chứng minh không tồn cặp giá trị nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x y 2011 x3 y z 1 x ; y ; z x y z y z x g Cho và , chứng minh: Câu Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn Từ P kẻ tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB M Qua M kẻ dây cung CD đường tròn (O), (CD khác AB và CD không qua O) Hai tiếp tuyến (O) C và D cắt Q Chứng minh: a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO P Câu Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và điểm A nằm trên đừơng tròn (O), xy không cắt (O) Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) A và tiếp xúc với đường thẳng xy (Chỉ trình bày cách dựng và biện luận) THCS TT Nghĩa Đàn (11) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Hết./ THCS TT Nghĩa Đàn (12) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM (Gồm trang) Câu CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2010 – 2011.Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Ý Nội dung cần đạt Điểm 0,25 x 10 x 27 x x , Điều kiện: x 4 6 HS biến đổi: a VT ( x 2.x.5 25) ( x 5) 2 , Dấu “=” xẩy x 5 0,25 VP 1 x x (1 )(6 x x 4) 2 , Dấu “=” xẩy x 5 0,25 Vậy nghiệm: x 5 thỏa mãn điều kiện x 4 6 2011 x Nhân vế với : b 0,25 2006 x 2 , ĐK: x 2006 2011 x 2006 x và biến đổi đưa hệ PT: 2011 x 2006 x 2 2011 x 2006 x 81 32095 2011 x 2011 x x 16 32095 Đối chiếu điều kiện: thỏa mãn 2(1 m) y x m m ; với m tham số, m 1; (d) : Gọi ( x0 ; y0 ) là điểm cố định (d) luôn qua: Thay vào PT (d) ta có: x a b y0 1,75 2(1 m) x0 m m , Với m my0 y0 2 x0 2mx0 , m y x0 0 m( y0 x0 ) y0 x0 0; m y x 0 Nhận thấy (d) không qua O x0 1 y0 0,5 0,25 1,75 0,5 0,5 ;0 Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A m 0; Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B m 0,25 Ta có: AOB vuông O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên: 1 1 ( m 2) 2 1 2 (m 1) x A yB OH OH OA2 OB Hay OH THCS TT Nghĩa Đàn 0,25 (13) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh OH OH 2 4( m 1) ( m 2) 5m 12m 2 OH 5(m ) 5 0,25 x 5 ; Dấu “=” xẩy Xét m 1 y ; K/c từ O đến (d) Vậy OH max x n 2 22 22.10 11 1122 225 11 11.10 n n 1 n n 1 B= a 0,25 10n n 2 10n 1 102( n1) 10n2 2.10n2 25 B 10 .10 9 102( n 1) 10.10n 1 25 10n 1 0,25 n1 ) 3 Nên B là số chính phương p là số nguyên tố; p 5 nên p lẻ và p không chia hết cho p 1 chẵn ( p 1)2 ; b vì ( 10 p chia cho dư 2 HS lập luận để chứng tỏ p là hợp số x y 2011 x 2 y 2013 x lẻ, đặt x 2k 1;(k Z ) thay vào ta có: 0,2 0,3 y 4k 4k 2012 y 2k 2k 1006 (1) y chẵn, y 2t; (t z ) c 0,25 Thay x; y vào (1) và biến đổi: 2t k (k 1) 503 (2) Xét thấy VT (2) luôn chẵn; VP (2) là số lẻ vì k(k+1) chẵn (Tích số nguyên liên tiếp) Vậy dấu “=” (2) không thể xẩy Không tồn cặp số nguyên (x; y) 0,25 2 thỏa mãn: x y 2011 x; y ; xét d x3 y x3 y y 3 x3 y 3xy x3 3 x y y2 y3 z3 y z 3 z x 2 Chứng minh tương tự: z ; x Cộng vế theo vế ta có: 0,25 x3 y z x3 y z 0,25 x y z (2 x y z ) x y z 1 y z x2 y z x2 (Đpcm) P B C M O N Q A THCS TT Nghĩa Đàn D 2,0 (14) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh 0,25 a b Gọi giao điểm QO và CD là N HS áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt Q để suy ra: CD QO N, MNO vuông N OM>ON AB<CD (T/c khoảng cách từ tâm đến dây ) HS áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: OAP, OQC có: AO OM OP; OC ON OQ mà OA = OC nên OM OP = ON OQ OM OQ ON OP (1) Từ c/m đã có: OM OP = ON OQ 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét MON và QOP có POQ chung và (1) MON đồng dạng QOP 2,5 t ONM OPQ 900 hay QP PO P Vẽ hình trường hợp: K' + At cắt xy 0,25 O + At // xy A K x P y Cách dựng: - Qua A dựng tiếp tuyến At với (O): + Nếu At cắt xy P: dựng phân giác góc tạo At và xy, Phân giác đó cắt OA 0,25 0,5 K Dựng (K; KA) là đường tròn cần dựng + Nếu At // xy: Dựng giao OA với xy I, Dựng K là trung điểm AI, dựng (K; KA) Biện luận: + Nếu OA xy bài toán có nghiệm hình + Nếu OA không vuông góc xy thì At tạo với xy hai góc nên bài toán có nghiệm hình Học sinh giải các cách khác phù hợp và đúng theo yêu cầu chấm điểm tối đa THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 0,25 0,25 2,0 (15) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,5 điểm) a) Tìm n N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - b) Chứng minh với số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P P= x1 x x 2 x 5x x x 2 x b) Tìm các giá trị x để P = Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình : ¿ √ 3+2 x + √ −2 y=x +4 √3+2 x − √ − y =x ¿{ ¿ b) Giải phương trình: √3 x −2+ √ x +1=3 Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: F= √ x − 18 √ x − + x+1 x +1 Bài 5: (6,5 điểm) Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và MA < MB Tia phân giác góc AMB cắt AB C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM D và H a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt điểm N nằm trên đường tròn (O) b) Chứng minh CA = CH c) Gọi E là hình chiếu H trên tiếp tuyến A đường tròn (O), F là hình chiếu D trên tiếp tuyến B đường tròn (O) Chứng minh điểm E; M; F thẳng hàng d) Gọi S1; S2 là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF Chứng minh CM < THCS TT Nghĩa Đàn (16) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh THCS TT Nghĩa Đàn (17) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TOÁN KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011 Bµi 1: (4,5 ®iÓm) C©u a) (2,0 ®) Ph©n tÝch A = n3 - 2n2 + n2 - 2n + n - = (n - 2) (n2 + n + 1) Do n - < n2 + n + n N 0,75® 0,25® ¿ n −2=1 VËy A lµ sè nguyªn tè n2 +n+1 lµ sè nguy ªn tè ¿{ ¿ ¿ n=3 A=3 + 3+1=13 ¿{ ¿ lµ sè nguyªn tè VËy víi n = th× A lµ sè nguyªn tè 0,5® 0,5® Câu b) (2,5 đ) m.n(m n ) mn m 1 n 1 mn m 1 m 1 mn n 1 n 1 0.5 đ Vì m(m-1) là tích số nguyên liên tiếp nên 2 ⇒ m(m – 1)(m + 1) 2 0,5 đ m(m – 1)(m + 1) là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho mà (2;3)=1 Do đó m(m – 1)(m+1) nm(m – 1)(m + 1) 6 Tương tự n(n – 1)(n + 1) mn(n – 1)(n +1)6 (1) 0,5 đ (2) 0,5 đ 2 Từ (1)(2) mn(m n )6 với số nguyên m, n Bài 2: (3,0 điểm) ĐKXĐ biểu thức P là: x › 0và x 3 x1 a) P = x 2 x 1 x x 5x x 0,5 đ 0,25 0,5 3x 10 x P= x 2 x 0,5 √x − P= √ x+ 0,75 x ⇒ ( √ x+2 )=4 ( √ x −3 ) x 2 = b) P = √ x=18⇒ x=324 TMĐK Bài 3: (4,0 điểm) −3 a) (2,0 điểm)Với điều kiện x ≥ ; y≤ 2 0,5 THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 0,25đ (18) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Trừ vế theo vế ta phương trình √ 3− y =2 ⇔3 – 2y = ⇔ y = Cộng hai phương trình hệ đã cho ta phương trình √ 3+2 x = x+2 ⇔ 3+2x = (x +2)2 ⇔ … ⇔ x2 +2x +1 = ⇔ (x+1)2 = ⇔ x =-1(thỏa mãn) −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (-1 ; ) b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2,0®) a x x 3 dK : x §Æt √3 x −2=u , √ x +1=v (v ≥ 0) =>u3 = x - 2, v2 = x+1 => v2 - u3 = (x + 1) - (x - 2) = => v2 - u3 = 3(1) u + v = (2) Rót v = - u tõ (2) thay vµo (1) => (3 - u)2 - u3 = - 6u + u2 - u3 = => u3 - u2 + 6u - = => u2 (u - 1) + (u - 1) = => (u - 1) (u2 + 6) = u - = u2 + > u => u = 1; v = Thay √3 x −2=u => √3 x − 2=1 x-2=1 x = (TM§K) VËy pt cã nghiÖm x = 3; −1 (t/mãn) 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® Bài 4: (2,0 điểm) Đk : x √x− Ta có: F- 5= ( x+1 √ x −1 ¿2 ¿ = −4¿ ¿ Lí luận đến F – 0 , 0,25đ 18 √ x −6 - 2) +( - 3) x+1 √ x −1 ¿2 ¿ + −9¿ ¿ để kết luận Fmax= x=1 THCS TT Nghĩa Đàn 0,75đ 0,5đ 0,5đ (19) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Câu 5: 6,5 đ a)Do M (O) ⇒ A ^ M B=90o suy H là trực tâm Δ AMB (0,75 đ) Do đó AN BD ⇒ A ^ N B=900 N (O) 0,75đ b) MC là phân giác tam giác AMB nên ta có: CA MA = 0,75 đ CB MB Δ BMA nên ta có: Mặt khác Δ BCH CH BC MA CH = ⇒ = 0,75 đ MA MB MB CB CA CH = ⇒ CA =CH 0,5 đ CB CB 1 ^ E=900 AH= CE⇒ C M c) MI = 0,75 đ 2 1 ^ F=900 suy điểm BD= CF ⇒ C M MK = 2 E; M; F thẳng hàng 0,75 A O d) Hình chữ nhật ACHE có CA = CH nên ACHE là hình vuông ^ A=45 suy BCDF là hình vuông 0,5 đ Tam giác ANB vuông N có góc NAB = 450 ⇒ N B Suy tam giác ECF vuông C S1=1/2 CE2; S2= ½ CF2 0,25 đ 1 1 1 1 1 ¿2 = = + ≥2 =2 0,5 đ 2 2 S1 S2 √ S S2 CM CE CF CE CF 2CA 2CB 1 ≥ ⇒ CM2 ≤ √ S S2 ( vì MA < MB nên dấu "=" không xảy ra) Suy 0,25 đ CM √ S S2 √ Lu ý: √ √ ( Chö trªn h×nh viÕt tay) THCS TT Nghĩa Đàn (20) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Phßng GD&§T HuyÖn Yªn Thµnh §Ò thi chän häc sinh giái huyÖn n¨m häc 2010-2011 M«n: To¸n - Líp (Thêi gian lµm bµi:120 phót) x 1 x + Bài 1: Cho biểu thức: A = a Tìm tập xác định và rút gọn A b Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: Giải các phương trình: a x x x x x 24 x 3 + x x x 3 b x2 + 9x + 20 = x 10 Bài Chứng minh các bất đẳng thức: 2 a a +b +1 ab +a +b ( a b) a b + a b + b a b Bài 4: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A nhọn, đường cao BH Chứng minh: 2 a AB +BC +CA =CH2 +2AH2 +3BH2 (1) b Nếu A 60 thì hệ thức (1) trở thành 3AB2 = 4BH2 c Gọi D đối xứng với C qua A Lấy điểm M thuộc cạnh BD, điểm N thuộc tia đối tia HB BM HN HB Chứng minh góc CNM 900 cho BD Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3+2x = y2-2009 HÕt Ngêi coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm THCS TT Nghĩa Đàn (21) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG I NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn Toán (Thời gian làm bài 120 phút) Câu I (4,5 điểm) Tìm số tự nhiên 59 lần tổng các chữ số số Tìm giá trị nhỏ P = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2010 Câu II (5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y2 – x2 – 8y2 = 2xy Giải phương trình: x2 + = x Câu III (4,5 điểm): 1 Cho x và y dương, chứng minh rằng: x y x y Cho a, b, c là các số thực dương Chứng ming : a3 b3 c3 a b c 2 2 2 a b b c c a Câu IV (6 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N 1 Chứng minh : AB CD MN ; Biết SAOB = a2 ; SCOD = b2 Tính SABCD; Tìm điểm K trên đường chéo BD cho đường thẳng qua K song song với AB bị hai cạnh bên và hai đường chéo hình thang chia thành ba đoạn - Hết - THCS TT Nghĩa Đàn (22) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn Toán Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 17 / 03 / 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC x3 1 (m 1)(x ) m 0 x x Bài Cho phương trình: a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt Bài a) Cho a, b, c là số nguyên thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 b c a b c a 3 Chứng minh a b c chia hết cho 3 b) Giải phương trình: x ax bx 0 , biết a, b là các số hữu tỉ và là nghiệm phương trình Bài Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: x y 2011 x(x y) y(y x) Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P = Bài Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt đường thẳng AB tai E Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB F a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng b) Gọi K là giao điểm EN và FM Hãy xác định vị trí dây MN để tam giác MKN có chu vi lớn Bài Cho a, b, c là số dương thỏa mãn: abc 1 Chứng minh : a3 b3 c3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) _ Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: THCS TT Nghĩa Đàn (23) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Câu I (5,0 điểm): 1) Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – = Chứng minh phương trình luôn có hai P nghiệm x1, x2 với m Tìm giá trị lớn x1 x2 x x2 2(1 x1 x2 ) m thay đổi 1 1 2 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thõa mãn a b c Chứng minh rằng: A a b c là số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi phân biệt Chứng minh rằng: B 1 2 ( x y) ( y z) ( z x) là số hữu tỉ Câu II (5,0 điểm): 2 10 x x 1) Giải phương trình: x x 1 1 x x 4 y y x x x 4 y y3 y2 2) Giải hệ phương trình: Câu III (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, các điểm D, E thuộc các cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P và diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Câu IV (4,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB) P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P A, B và khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) và (D) cắt N ( N P) 1) C/m rằng: ANP BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên đường tròn 2) C/m đường trung trực đoạn ON luôn qua điểm cố định P di động Câu V (4,0 điểm): 1) Cho a1, a2, a3, a45 là 45 số tự nhiên thỏa mãn a1< a2< a3< <a45 130 Đặt dj = aj+1 – aj, (j = 1,2, 44) Chứng minh ít 44 hiệu dj xuất ít 10 lần 2 2 2 2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 Chứng minh rằng: b c c a a b 2 _Hết _ THCS TT Nghĩa Đàn (24) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 1) 2,5đ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN Ta có ' (m 1) 0, m nên phương trình có hai nghiệm với m Theo định lí viet, ta có x1 x2 2m, x1 x2 2m , suy 2a) (2m 1) 1 1 Max P 1, m 4m 2 Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca 0 THCS TT Nghĩa Đàn P 4m 4m (25) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh 1,5đ Suy A (a b c) a b c là số hữu tỉ 2b) 1,0đ 1 1 1 ,b ,c x y y z x z suy a b c Đặt 1 B ( x y ) ( y z ) ( z x) là số hữu tỉ Áp dụng câu 2a) suy Đk: x 1 Phương trình tương đương với 1) 2,5đ a 2 x2 x x2 10 x 10 x 0 x2 x2 x 1 x x 1 x2 10 2 t , t2 t 0 t t x ta phương trình Đặt 2x t , ta x (vô nghiệm) Với Với t 2 x2 , x ta x suy 2) 2,5đ Đk: y 0 Hệ tương đương với Đặt u x y v x , y x x3 1 x 4 y y x 1 x 4 y y y u u 2v 4 u uv ta hệ x 2 y x 1 y 1 x 1 y u 2 Với v 1, ta Kẻ EF AC F, DG BC G S( ADPE ) S( BPC ) u 4u 0 u u 2v (thoả mãn điều kiện) Theo giả thiết S( ACE ) S( BCD ) Mà AC BC EF DG và A C Suy AEF CDG AE CG Do đó AEC CDB (c g c ) DBC ECA BPE PBC PCB PCD PCB 600 THCS TT Nghĩa Đàn u 2 v 1 (26) 1) 3,0đ Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Gọi Q là giao điểm các tiếp tuyến chung (O) với (C), (D) A, B tương ứng Suy ANP QAP QBP BNP Ta có ANB ANP BNP QAP QBP 1800 AQB , suy NAQB nội tiếp (1) Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên đường tròn Suy các điểm O, N, A, B cùng nằm trên đường tròn 2) 1,0đ Ta có OCN 2OAN 2OBN ODN , suy bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên đường tròn Gọi E là trung điểm OQ, suy E cố định và E là tâm đường tròn qua các điểm N, O, D, C Suy đường trung trực ON luôn qua điểm E cố định 1) 2,0 đ d1 d d 44 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (a45 a44 ) a45 a1 130 129 (1) d j ( j 1, 2, , 44) Nếu hiệu xuất không quá 10 lần thì d1 d d 44 9(1 4) 8.5 130 mâu thuẫn với (1) Vậy phải có ít hiêụ d j ( j 1, ,44) xuất không ít 10 lần (Làm lại xem tài liêu) 2) 2,0đ 2 Ta có 2(a b ) (a b) Suy a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c c a a b b2 c2 c2 a2 c2 a2 2 2 2 Đặt x b c , y c a , z a b , VT suy y2 z x2 z x2 y x2 y z 2x 2y 2z ( z x) ( x y)2 ( y z)2 x y z 2 2x 2y 2z ( z x)2 ( x y )2 ( y z )2 x 3x y 3y z 3z 2 2x 2y 2z THCS TT Nghĩa Đàn (27) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh 2 Suy 2( y z ) 3x 2( z x) y 2( x y 3z VT 2 ( x y z) 2011 2 THCS TT Nghĩa Đàn (28) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI cÊp tØnh LỚP thcs NĂM HỌC 2009-2010 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang C©u (4 điểm) a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) T×m sè c¸c sè nguyªn n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? C©u (5 điểm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 2 x x b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 1 xy 2 x y 3 xy 11 C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: x y z 2010 1 1 x y z 2010 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: C©u (6 điểm) P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x 2011 Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B) Gọi (C; R1) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) và (D; R2) cắt ®iÓm thø hai M a) Trong trêng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©y AB, chøng minh OM//CD vµ ®iÓm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đờng tròn cố định và đờng thẳng MP luôn qua điểm cố định N c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? C©u (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z - HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh SBD THCS TT Nghĩa Đàn (29) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có trang) I Một số chú ý chấm bài Hướng dẫn chấm thi đây dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm C©u (4 điểm) a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) T×m sè c¸c sè nguyªn n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph¬ng ? ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Theo gi¶ thiÕt n lµ sè tù nhiªn nªn: – 1, , + lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp 0,5 điểm V× tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho nªn (2n - 1).2n.(2n + 1) chia hÕt cho 0,5 điểm n n n chia hÕt cho MÆt kh¸c (2n, 3) = nªn VËy A chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) Ta thÊy B lµ sè chÝnh ph¬ng 4B lµ sè chÝnh ph¬ng §Æt 4B = k2 (k N) th× 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 2n 2n 0,5 điểm 1,0 điểm V× 2n-1+k 2n-1-k nªn ta cã c¸c hÖ 2n k 1 2n k 3 2n k 51 2n k 17 (1) (2) (3) (4) 2n k 51 2n k 17 2n k 2n k Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4 12; 3; 4;13 VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ n C©u (5 điểm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x 2 x x b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x y 1 xy 2 x y 3xy 11 THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 điểm 1,0 điểm (30) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Ta cã: x x 2 x 1 1 nên tập xác định phơng trình là R 0,5 điểm Phơng trình đã cho tơng đơng với x x x x 0 Đặt y x x 1 thì phơng trình đã cho trở thành y y 0 y 1 y 3 Víi y = ta cã 1,0 điểm (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) 2 x x 1 x x 1 x=1 2 Víi y = ta cã x x 3 x x 9 1,0 điểm x x 3 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3 b) Hệ đã cho tơng đơng với x xy y 1 2 2 11 x xy y x 3xy y x xy y 1 x y x y 0 (*) 11 x xy y 11 2 x 3xy y 11 1,0 điểm Tõ hÖ (*) ta suy x xy y 1 x xy y 1 x y 0 (I) hoÆc x y 0 (II) Giải hệ (I) ta tìm đợc (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) HÖ (II) v« nghiÖm VÆy hÖ cã nghiÖm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) 0,5 điểm 1,0 điểm C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: x y z 2010 1 1 x y z 2010 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P x 2007 y 2007 y 2009 z 2009 z 2011 x2011 §¸p ¸n Từ gi¶ thiÕt suy x, y, z kh¸c vµ 1 1 x y z xyz THCS TT Nghĩa Đàn biÓu ®iÓm 0,5 điểm (31) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh 1 1 1 0 x y z x yz xy xy 0 xy z x y z 0,5 ®iÓm x y 0 xy xz yz z x y xz yz z xy 0 0,5 điểm 0,5 điểm x y xz z yz xy 0 x y z z x y z x 0 x y y z z x 0 x 2007 y 2007 x2007 y 2007 0 x y 0 x y z y 0 y z y 2009 z 2009 y 2009 z 2009 0 2011 2011 z 2011 x 2011 0 x z x z x z 0 0,5 điểm 0,5 điểm nªn P = C©u (6 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = R Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B) Gọi (C; R1) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A, (D; R2) là đờng tròn qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Hai đờng tròn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t t¹i ®iÓm thø hai M a) Trong trêng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©yAB, chøng minh OM//CD vµ điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn b) Chứng minh P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và đờng thẳng MP luôn qua điểm N cố định c) Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? §¸p ¸n THCS TT Nghĩa Đàn biÓu ®iÓm (32) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh O M C A K H D B P N a) Nèi CP, PD ta cã ACP, OAB lÇn lît c©n t¹i C, O nªn CPA = CAP = OBP đó CP//OD (1) T¬ng tù DBP, OAB lÇn lît c©n t¹i D, O nªn DPB = DBP = OAB nªn OD//CP (2) Tõ (1) vµ (2) suy tø gi¸c ODPC lµ h×nh b×nh hµnh Gäi CD c¾t MP t¹i H c¾t OP t¹i K th× K lµ trung ®iÓm cña OP Theo tính chất đờng tròn cắt ta có CD MP H là trung điểm MP Vậy HK//OM, đó CD//OM Ta phải xét trờng hợp AP < BP và AP > BP, đáp án yêu cầu xét trờng hîp gi¶ sö AP < BP V× tø gi¸c CDOM lµ h×nh b×nh hµnh nªn OC = DP, DP = DM = R2 nªn tø gi¸c CDOM là hình thang cân đó điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn 2 2 b) XÐt tam gi¸c AOB cã: OA OB 2 R AB nªn tam gi¸c AOB vu«ng c©n t¹i O Vì điểm C, D, O, M cùng thuộc đờng tròn (kể M trùng O) nên COB = CMD (1) XÐt MAB vµ MCD cã MAB = MCD ( cïng b»ng s® MP cña (C)) MBD = MDC ( cïng b»ng s® MP cña D)) nên MAB đồng dạng với MCD (g.g) THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (33) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh Vì MAB đồng dạng với MCD suy AMB = COD hay AMB = AOB = 90 0,5 điểm Do AB cố định nên điểm M thuộc đờng tròn tâm I đờng kính AB Ta cã ACP BDP AOB 90 nªn AMP = ACP = 45 (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cña (C)) BMP = BDP = 45 (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cña (D)) Do đó MP là phân giác AMB Mà AMB = AOB =900 nên M đờng tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đờng tròn (I) N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định c) MAP vµ BNP cã MPA = BPN (®®), AMP = PBN (gãc néi tiÕp cùng chắn cung) nên MAP đồng dạng với BNP (g.g) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm PA PM AB R PA PB PM PN PA.PB (không đổi) Do đó PN PB R2 VËy PM.PN lín nhÊt b»ng PA = PB hay P lµ trung ®iÓm d©y AB 0,5 điểm V× tam gi¸c AMB vu«ng t¹i M nªn 1 AB R S AMB AM BM AM BM 4 2 R DiÖn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt b»ng PA = PB hay P lµ trung ®iÓm 0,5 điểm d©y AB CÂU (2 điểm) Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670 Chøng minh r»ng x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z §¸p ¸n biÓu ®iÓm Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > ta có a b2 c a b c x y z x yz (*) a b c x y z DÊu “=” x¶y ThËt vËy, víi a, b R vµ x, y > ta cã a b2 a b x y x y a bx ay 2 y b x x y xy a b 2 0 (**) (luôn đúng) a b x y DÊu “=” x¶y áp dụng bất đẳng thức (**) ta có THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 điểm (34) Sưu tầm : Nguyễn Tài Minh a b a b c c2 a b c x y z x y z x yz a b c x y z DÊu “=” x¶y 2 2 áp dụng bất đẳng thức (*) ta có VT x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x2 y2 z2 x x yz 2010 y y zx 2010 z z xy 2010 x y z x y z 3xyz 2010 x y z x x yz 2010 Chó ý: 0,5 điểm (1) x x xy zx 1340 y y zx 2010 = , vµ z z xy 2010 Chøng minh: Do đó: x3 y z 3xyz x y z x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx (2) 3 x y z 3xyz 2010 x y z 0,5 điểm x y z x y z xy yz zx 2010 = x y z (3) Tõ (1) vµ (3) ta suy x y z VT x y z DÊu “=” x¶y x = y = z = x yz 2010 THCS TT Nghĩa Đàn 0,5 điểm (35)