SỞ GD & ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Ngày thi 17/3/2011 Môn Toán Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức , với a là nghiệm dương của phương[.]
SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI ĐÈ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Ngày thi: 17/3/2011 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức phương trình , với a nghiệm dương b) Giải phương trình Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hình trịn có diện tích 1, lấy 17 điểm hình trịn khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm lập thành tam giác mà diện tích nhỏ b) Tìm cặp số ngun dương (x; y) thoả mãn: Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình b) Cho phương trình (b2 + c2 - a2)x2 - 4bcx + (b2 + c2 - a2) = 0; x ẩn a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Một đường thẳng d song song với đáy, cắt cạnh bên AD P cắt cạnh bên BC Q Cho biết đường thẳng d chia hình thang ABCD thành hai phần có diện tích Tính độ dài cạnh PQ; với AB = 9cm CD = 15cm Bài 5: (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính BC điểm A di động đường trịn (với A khác B C) Đường phân giác góc BAC cắt đường trịn (O) K (với K khác A) Biết độ dài đường cao tam giác ABC AH = h a) Tính diện tích tam giác AHK theo R h b) Tìm giá trị h để diện tích tam giác AHK đạt giá trị lớn c) Tính số đo góc ABC tam giác ABC Một lời giải: Bài 1: a) Phương trình có hệ số a, c trái dấu nên có nghiệm dương, nghiệm âm Vì a nghiệm dương phương trình nên (với 0< a < 1) = (vì a+3>0) + a2 = Vậy A = =0+ b) (1) ĐKXĐ: x (1) (vì = > 0) (thoả ĐKXĐ) Tập nghiệm phương trình S = {2 } Bài 2: a) Chia hình trịn phần Vì 17 = 8.2 + 1, nên tồn phần chứa điểm (khơng thẳng hàng) Do có điểm lập thành tam giác có diện tích nhỏ b) ĐKXĐ: x (*) ;y Ta có 2x - - .1 +1 = (1) (vì x>0) Tương tự (2) (1) & (2) suy + (*) + (3) = (4) (1), (2), (3) & (4) suy Bài 3: Vậy (x; y) = (1; 1) a) (1) ĐKXĐ: x, y, z (1) (vì x, y, z Bài 4: 0) b) (b2 + c2 - a2)x2 - 4bcx + (b2 + c2 - a2) = * Nếu b2 + c2 - a2 = 0, phương trình trở thành: 4bcx = (ln có nghiệm) * Nếu b2 + c2 - a2 0, ta có ' = (-2bc)2 - (b2 + c2 - a2)2 = (a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)( b + c - a) > (do a, b, c ba cạnh tam giác) Vậy phương trình cho ln có nghiệm Gọi h1, h2 chiều cao hình thang ABQP, PQCD Đặt PQ = x Ta có 2SABQP = 2SPQCD = SABCD (x + 9)h1 = (x + 15)h2 = (9 + 15)(h1 + h2) A P D h1 B x h2 15 Q C (x + 9)h1 = (x + 15)h2 = 12h1 + 12h2 (vì x > 0) Vậy PQ = Bài 5: cm a) Dễ thấy OK BC Gọi I gaio điểm AK OH A Ta có h KOI S AHI = B SAHK = IH.h + IH.R = b) SAHK = (R + h) = O H I C R K = Dấu " = " xảy h = h= Vậy SAHK đạt giá trị lớn h = c) Ta có OH2 = HK2 - R2 = AH2 - R2 Ta có OH2 = R2 - AH2 (2) (1) & (2) R OH = tg (1) =