054 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng nam 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu x 8 x4 x   x x x 8 x  x  a) Cho biểu thức với x  Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên b) Cho ba số thực a, b, c thỏa a, b, c 2 Chứng minh: a b c a c b      7 b c a c b a Câu 2 a) Cho phương trình x  x   2m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 nghiệm bình phương nghiệm cịn A lại b) Giải phương trình:  x   x 3  x Câu a) Chứng minh với số tự nhiên n 1  n    n  1  n  8 lập phương số tự nhiên 2 b) Cho số nguyên tố p  p  3 hai số nguyên dương a, b cho p  a b Chứng minh a chia hết cho 12  p  a  1 số phương Câu Cho hình vng ABCD cạnh 4cm E điểm nằm cạnh BC (E khác B C) Một đường thẳng qua B, vng góc với đường thẳng DE H cắt đường thẳng CD F Gọi K giao điểm AH BD a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ba điểm K , E , F thẳng hàng b) Khi E trung điểm cạnh BC , tính diện tích tứ giác BKEH Câu Cho hai đường tròn  C1  ,  C2  cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A  C2  cắt  C1  M  M  A  Tiếp tuyến A  C1  cắt  C2  điểm N (N khác A) Đường thẳng MB cắt  C2  P  P B  Đường thẳng NB cắt  C1  Q ( Q khác B) a) Chứng minh tam giác AMP, ANQ đồng dạng 2 b) Chứng minh MB.NA NB.MA ĐÁP ÁN Câu A    x 8  x  23  x x 4 x 8   x 2 x x 4  x 8   x 2 x x 4  x 8   x 2 x x 4       Ta có:  x 2 x x 4  x x 4 x x x 4 x x 4 x x 4     x x 8  x   x  x    x      x  x 2 x  x  x 2  x 2 x 6    x 2 x x 4   x x 4 x   3   A 1 Để A số nguyên A 1  x  x  3  x 1 b) Vì a, b, c có vai trị a, b, c 2 nên giả sử a b c 1 a b a  b  a   b  c  0  b  ac ab  bc  *   1  b c c (chia vế (*) Khi b c c  1  a (chia vế (*) cho ab) cho bc) a b a b b c a c a c       2     b c a b c a  c a a c a c     7      c a  c a Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh a a c 1  x  2 Ta có :   x  x  0   x    x  1 0 x (đúng x 2) (2) chứng minh nên (1) chứng minh Dấu " " xảy a 2, b c 1 a b 2, c 1 hốn vị  2  x Câu a) Điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt  '   2m    m   x1  x2 2  x x 3  2m Áp dụng Viet ta có:  x1 x22  x1 2 x2  2m   x1  x2 3 x2  2m   x2 5  2m  x1 1  2m  x1 x2   2m    2m     2m   4m  8m   m 1( ktm)  4m  26m  22 0   11  m  (tm)  11 m Vậy b)  x   x 3  x  1 Điều kiện:  x 1  1   x   x  x 3  x (2) Đặt  x a,  x b   a, b 0    viết lại: 2a  ab 4  b2  a   b    b    b   a 2  b(  b  0)   x   x 2  x 0(tm) Vậy x 0 Câu 3 n   n  n  n   n             * a) Ta có:  n3  6n  12n    n  3n    n   n  11n  26n  16  n  12n  48n  64 (đúng) Giả sử có n  , n 1 cho  n    n  1  n  8 lập phương số tự * n  n  n   n            nhiên, đó, từ suy  n3  11n  26n  16 n3  9n  27 n  27  89  2n  n  11 0  n   (Vo ly ') Vậy n 1, n    n    n  1  n  8 không lập phương số tự nhiên 2 2 b) Ta có: p  a b  p  b  a   b  a  2 Các ước p 1, p, p ; không xảy trường hợp b  a b  a  p Do xảy trường hợp b  a  p b  a 1 p2 1 p2  b a suy 2a  p  1  p  1 Khi đó, Từ p lẻ suy p  1, p  hai số chẵn liên tiếp nên  p  1  p  1 8 Suy 2a8  1 Từ p nguyên tố lớn nên p không chia hết p có dạng  p 3k   p 3k   Nên số p  1; p  chia hết cho  2a3   Từ (1) (2) suy 2a24  a12  p2   2  p  a  1 2  p   1 2 p  p   p  1   Xét số phương Câu B A K H E F D C   a)  BKA BKC  BCK BAK   KDE Lại có A, B, H , D nằm đường tròn nên BAK   Suy BCK KDE , tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn Trong tứ giác BDF có BC , DH hai đường cao suy FE  BD (1) 0   Tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn ECD 90  EKD 90 hay EK  BD (2) Từ (1) (2) suy K , E , F thẳng hàng b) Ta có: BKE vng cân nên BK KE  1 S BKE  BK KE  2 1 2 DC 4 BH BE.sin E 2sin E 2 2  DE 5 Xét BHE ta có: 16 HE BE  BH 4    HE  5 S BHE  HE.BH  S BKEH S BKE  S BHE 1    cm  5 Câu A Q M P B N   a) Tứ giác ABNP nội tiếp  ANB  APB   Tứ giác ABMQ nội tiếp  AQB  AMB  ANQ APM b) AM tiếp tuyến, MBP cát tuyến  C2   MA MB.MP Tương tự AN tiếp tuyến, NBQ cát tuyến  C1   NA NB.NQ MA2 MB MP    1 NA2 NB NQ Để có (1) ta chứng minh : MP NQ ( AMP AQN , chứng minh AM  AP  AMP AQN , cần chứng minh   AM  AP hay APN  ANB ) )    Ta có: P1  ANB MAB (chắn cung AB  C2  )  NAB  P (chắn cung NB  C2  )      NAB AMB (chắn cung AB  C1  ) Suy P1  P2 MAB  AMB  APN  ABP (góc ngồi tổng hai góc khơng kề nó)   Mặt khác ABP  ANP (chắn cung AP  C2  )   Suy : APN  ANP   Ta có: APN  ANP  ANP cân N  AN  AP Tam giác AMP AQN kết hợp AN  AP  AMP AQN  MP NQ   MA2 MB    MB.NA2 NB.MA2 NA NB Từ (1) (2)