033 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng bình 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI:TỐN Ngày thi : 14.03.2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm)   x  x x  x  x  với x 0 Rút gọn tìm a) Cho biểu thức giá trị lớn A b) Khơng dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức A B   10    10  Câu (2,0 điểm) a) Xác định hệ số a, b để hệ thức P  x  x  x  3x  ax  b bình phương đa thức (1) b) Giải phương trình:  x  x   16 x  x  Câu (2,5 điểm) Cho đường tròn (O) dây cung BC a không đổi  O  BC  A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CK cắt H  D  BC , E  AC , K  AB    a) Trong trường hợp BHC BOC , tính AH theo a b) Trong trường hợp bất kỳ, tìm vị trí A để tích DH DA nhận giá trị lớn n Câu (1,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n cho C 2019  2020 số phương Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng: Câu (1,0 điểm) x  y  z  2  yz  zx  xy  Cho tam giác vuông ABC có AB 3, AC 4, BC 5 Xét hình chữ nhật MNPQ cho M , N thuộc cạnh BC , P thuộc cạnh AC , Q thuộc cạnh AB Hãy xác định kích thước hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn ĐÁP ÁN Câu a) Với x 0 ta có: A  x 1 x 1 x    x   x 1 x 1   x   x x 1  x  x 1  x  1   x  1 x  x  1 x  x x x 1  1   x  x   x     0x 0 2    x 0x 0 Ta có:   Và  x  0, x 0  x  x  0, x 0  x x   x , x 0  x 1, x 0  A 1, x 0 x 1 x A 1  x 1 Vậy giá trị lớn A x 1 b) Ta có: B 4  10    10    4    10   10  8  16  10  8   8     8    51 6   B     1(do B  0) Câu 2 P ( x)  x  cx  d  x  2cx   c  2d   2cdx  d , x   a) Ta có P  x  x  x  x  ax  b Mà 2c   c  2d 3   cd  a   Do ta có hệ phương trình: d b c  d 1   a  b 1 Vậy a  2, b 1 1 x  (*) b) ĐK:  ta có: 4   4x  4x 1 3  3  x  x    x  4  3 4x  1  4x  1  4x  x   x 2 (2) Lại có:  16 x  x  2   x  1 2(3) Từ (2) (3) ta có:   x   x 2 3  x    x    x    x 4   1   2  16 x  x  2 16 x  x  0   x 4    x    x  0         x   x  (tm(*)) 4  x       x   x  Vậy phương trình có nghiệm Câu A I E K B O H D M C 0       a) Xét tứ giác AKHE có K E 90  BAC  BHC 180 mà BHC BOC     BOC 2 BAC  3BAC 1800  BAC 600 Kẻ đường kính BI , suy tứ giác AICH hình bình hành  AH CI (1) Gọi M trung điểm BC  IC 2OM (2) (đường trung bình) Từ (1) (2) suy AH 2OM  Do M trung điểm BC  OM  BC  OM tia phân giác BOC a a a   MOC 600  OM MC.cot 600    AH  DB DH DBH DAC    DA.DH DB.DC DA DC b) Ta có  x  y xy  (Dấu " " xảy x  y ) DB  DC   a2 DA.DH DB.DC   4 (không đổi) Ta có: Dấu “=” xảy DB DC hay D trung điểm BC a2  DA.DH nhận giá trị lớn D trung điểm BC  ABC cân A  A điểm cung BC Áp dụng bất đẳng thức Câu Với số tự nhiên a a chia cho có số dư 0;1;4 n n Số 2019 chia dư 3; 2020 chi dư  2019 3 (mod8) n 2k n  k , k    2019   mod8   C 5  mod8  n -Nếu chẵn Nên C khơng thể số phương n k 1 2k -Nếu n lẻ n 2k  1, k    2019 3 3.3 3(mod8)  C khơng thể số phương Kết luận: Khơng tồn n thỏa yêu cầu toán Câu 1 a ,b  ,c  1 x 1 y  z Khi x  y  z  xyz  a  b  c 1 Đặt 1 a b  c ca a b x   1  ,y ,z  a a a b c Và x  y  z 6  Vậy 2 cyc b c c a a b  c  a a b         a b c c b  cyc   c  a  a  b bc 2  yz  zx  xy  Đẳng thức xảy a b c hay x  y z 2 Câu A Q B M K P N H Gọi H , K hình chiếu vng góc A BC PQ Tam giác ABC vuông A nên AH  AB AC 12  BC Đặt PN x, PQ  y PQ AK y 25   1  x  y 5  x 12 12 Vì APQ ACB suy CB AH C S MNPQ 25 25  6 x y 5 x  x 3   x   3 12 12  5 Vậy giá trị lớn S MNPQ x y