072 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng trị 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI TỐN Thời gian làm 150 phút Câu Cho a   10    10  a) Chứng minh a nghiệm phương trình a  2a  0 a  4a  a  6a  T a  2a  12 b) Tính giá trị biểu thức Câu  x3  y 8  a) Giải hệ phương trình:  x  y  xy 2 x  x  x         x    x  5 360 b) Giải phương trình Câu 2 a) Cho a, b, c số thực Chứng minh a  b  c ab  bc  ca b) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a 1; b 1; c 1 ab  bc  ca 9 2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a  b  c Câu Cho tam giác ABC vuông A  AC  AB  ; Gọi H hình chiếu A BC , D điểm nằm đoạn thẳng AH  D  A, D H  Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA E F (F nằm B D); M điểm nằm đoạn   thẳng AB cho ACF 2 BFM ; MF cắt AH N a) Chứng minh BH BC BE.BF tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn  b) Chứng minh HD phân giác góc EHF c) Chứng minh F trung điểm MN Câu a2 c2 2c   2 a  c b  c Chứng minh bc Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a  b số phương ĐÁP ÁN Câu 1.a) Ta có:    1  a 8  16  10  8   8  2   6    a   a  1 a     a  1 5 hay a  2a  0 Vậy a nghiệm phương trình: a  2a  0 b) Ta có: a  4a3  a  6a  a  2a  4a  2a  4a  8a  a  2a   T  a  2a  12 a  2a   16 a  a  2a    2a  a  a     a  a    8     Do a  2a  0  16  a  2a    16 Câu  x  y   xy  x  y  8  x  y 8    x  y  xy 2  x  y  xy 2  a) Ta có:  S x  y  S  4P 0   P xy  Đặt , ta có hệ phương trình: 2 S  2 S  P   S  3SP 8  P      S 3  S  P 2  S  3S  0 2S  3S  6S  16 0  2 S    P 0   15 P      Do S  S  2  S      4   S    S  S   0  S 2     x  y 2   xy 0  Khi  x 2; y 0   x 0; y 2 Vậy  x; y    0;2  ;  2;0   b)  x  1  x    x  3  x    x   360   x  x    x  x    x  x   360 Đặt y x  x  PT   y    y    y   360   y  y  22 y  157  0  y 0 Do y  22 y  157  y  11  36    x 0 x  x 0    x  Vậy phương trình có nghiệm x 0; x  Suy ta có: Câu 2 2 2 a) Ta có: a  b 2ab, b  c 2bc, c  a 2ca Cộng vế theo vế ta được:  a  b  c  2  ab  ac  bc   a  b  c ab  ac  bc b) Từ câu a ) ta có: a  b  c   ab  bc  ca  2.9 18  P 18  P 9 Vậy MinP 9  a b c  Vì a 1; b 1; c 1 nên  a  1  b  1 0  ab  a  b  0  ab  a  b Tương tự ta có: bc  b  c; ca  c  a Do đó: ab  bc  ca  2  a  b  c   a  b  c  93 6 2 2 Mà P a  b  c  a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c   18  a 4; b c 1  P 36  18 18   b 4; a c 1  c 4; a b 1  a 4; b c 1 MaxP 18   b 4; a c 1  c 4; a b 1 Vậy Câu C H N E D A F M a) AB tiếp tuyến đường tròn  C ; CA   BA BE.BF (1) AH đường cao tam giác vuông ABC  BA BH BC (2) Từ (1) (2) suy BE.BF BH BC BH BE BE.BF BH BC   BF BC Ta có: BH BE      Từ BF BC HBF EBC  HBF EBC  BHF BEC Suy tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn       b) Ta có: BHF BEC EFC EHC  EHD FHD  Do AH  BC   Do D nằm E , F  HD phân giác EHF B  BFM  ACF  AEF  AE / / MN  3 c) Ta có:  Theo câu b) HD  HB nên HB phân giác EHF (4) MF BF HF DF FN      FM FN AE BE HE DE AE Từ (3) (4) suy Câu Ta có: a2 c2 2c a2 c c2 c       0 a  b2 a  c2 b  c a  b2 b  c a  c b  c a2  b  c   c  a  b2  c  b  c   c  a  c    0  b  c   a  b2   b  c   a2  c2   b  a  bc   c  a  bc    b  c   a  b2   b  c   a  c  0 a  bc  b c      0 b  c  a  b2 a  c   a  bc   b  c   b  c  a b a c  0   a  bc   b  c  0 2 Xét a  bc 0  bc a số phương Xét b  c 0  b c Khi bc b số phương