022 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng trị 2018 2019

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN Câu Cho a   10    10  a) Chứng minh a nghiệm phương trình a  2a  0 a  a  a  6a  P a  2a  12 b) Tính giá trị  x3  y 8  Câu a) Giải hệ phương trình  x  y  xy 2 b) Giải phương trình  x  1  x    x  3  x    x  5 360 Câu 2 a) Chứng a  b  c ab  bc  ca với số thực a, b, c 2 b) Cho a, b, c 1 ab  ac  bc 9 Tìm GTNN GTLN P a  b  c Câu Cho ABC vuông A  AC  AB  Gọi H hình chiếu vng góc A BC, D điểm nằm đoạn thẳng AH (D khác A, H ) Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA E F ( F nằm B D), M điểm đoạn thẳng AB cho ACF 2 BFM  , MF cắt AH N a) Chứng minh BH BC BE.BF tứ giác EFHC nội tiếp  b) Chứng minh HD tia phân giác EHF c) Chứng minh F trung điểm MN a2 c2 2c  2 2 a , b , c a  b a  c b  c Câu Cho số nguyên thỏa mãn Chứng minh bc số phương ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: a 8  8    4  10   10  8       6     a  1  a   a  2a   a  2a  0 Nên a nghiệm phương trình a  2a  0 b) Ta có: a  2a3  4a  2a  4a  8a  a  2a   P a  2a   16 a  a  2a    a  a  2a    a  2a   8    a  2a   16 16 Câu a) Hệ phương trình Ta có: a  a  3b  8   a  2b 2  x  y    x  y   3xy  8     x  y  xy 2 Đặt  x  y a   xy b với a 4b 2a3  6ab 16  2a  3a   a  16  2a  3a  6a  16 0  2b 2  a  2a  4a  7a  14a  8a  16 0   a    2a  7a   0 x; y     0;2  ;  2;0   Vì 2a  a  0 vơ nghiệm, nên a 2  b 0 Hệ có nghiệm  x b) Phương trình :  x    x  x    x  x   360 Đặt x  x  t , ta có: t  t  3  t    360 0  t  7t  12t  360 0   t    t  12t  72  0  x 0 t 5  x  x 0    x  Vì t  12t  72 0 vô nghiệm nên Vậy S  0;  6 Câu a) Ta có : 2  a  b2  c    ab  bc  ca  0   a  b    b  c    c  a  0 Dấu " " xảy a b c b) Vì a, b, c 1 nên  a  1  b  1 0   b  1  c  1 0    c  1  a  1 0 a  b ab   b  c bc    a  b  c  ab  bc  ca  12 c  a ca    a  b  c 6   a  b  c  36  a  b  c  2.9 36  a  b  c 18 Vậy GTLN P 18, đạt  a; b; c  hoán vị  1;1;4  2 Mặt khác a  b  c ab  bc  ca 9 nên GTNN P Đạt a b c  Câu B K M F H DN A C E BF BA  FAB  AEB  BAF BEA    BA2 BE BF BA BE a) Ta có: áp dụng hệ thức lượng tam giác vng BA BH BC  BH BC BE.BF  BH BF     BHF BEC  BHF BEC BE BC nên tứ giác EFHC nội tiếp         b) Ta có BHF BEC CFE CHE mà AHB  AHC 90 nên AHF  AHE  HD tia  phân giác EHF c) Gọi K giao điểm AH với (C) , chứng minh BK tiếp tuyến đường tròn    (C) , ta có BFM  ACF 2 AEF       BFM  AEF  MN / / AE  ANM KAE lại có : NAM  AEK  AMN EKA  MN AN  (1)  1800 KA EA Do AFN  FAE 1 1     EKF  FAE 1800  AFN EKF  ECF  EHF  AHE 2 AN NF AFN  AHE; ANM HAE   AFN EHA   (2) EA AH Hay MN NF NF NF     MN 2 NF  FM FN KA AH AH KA Từ (1) (2) ta có: Câu a2 c2 2c a2 c c2 c       0 2 a2  c2 b  c a2  b2 b  c a  c2 b  c Ta có: a  b  a2  b  c   c  a  b2   b  c   a  b2   c2  b  c   c  a2  c2   b  c   a2  c2  0  b  a  bc    c  a  bc   b  c   a  b2   b  c   a  c2  a  bc   b  c   a  bc  b c    0   0  b  c  a  b2 a  c   b  c   a  b2   a  c2    a  bc   b  c  0 2 Xét a  bc 0  bc a số phương Xét b c bc c số phương 0