SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TRÀ VINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI :TỐN Thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm) Giải phương trình: 1/ x 1 1 x x x / x 20 x x 45 4 Bài (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: x xy y 0 1/ 2 x y 8 x 2/ x 1 y 1 y 2 Bài (3,0 điểm) Cho phương trình x 2mx m 0 (1) ( m tham số) Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm khơng âm x1 x2 Tìm giá trị m để nghiệm lớn phương trình đạt giá trị lớn Bài (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC Giả sử phương trình: x a x b x b x c x c x a 0 có nghiệm kép Tính số đo góc tam giác ABC Bài (2,0 điểm) Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn x3 y z x y z 2017 Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, CM đường trung tuyến BH Từ A vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt BC H Tính tỉ số HC ĐÁP ÁN Bài 1)ĐKXĐ: x 1 a b x 1 ;b x x x Đặt , ta có hệ phương trình: a b 1 x x2 x 1 2 a x a 1 x a 2x , nên ta có: a 1 x2 x 1 x x x x 0 x x 0 2x x x x 1 x x 0 x x 1 t x t x t 2t 0 t 1 x x Đặt 1 x1 t 1 x 1 x x 0 x x 1 (ktm) 2 1 x Vậy 2) x 20 x x 45 4 x 5 x 5 x 4 x 12 20 x 4 x x (tm) Bài x xy y 0 (1) x xy y 0 1) x y x y 0 2 x y 8 (2) x y 8 x y 2 y 2 x x y y x , thay vào (1) ta được: x x 0 x x x 1 x 1 x Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: x y 1 2) 1 a ; x y x Đặt 1 3;1 , 1 3;1 , 2; b y , hệ phương trình thành: a 13 a b 1 x a b 1 b y 6 Bài 2 Phương trình: x 2mx m có hai nghiệm không âm m2 0 ' 0 x1 x2 0 m 0 x x 0 m2 0 m 2 m 0 m m 2 m 2 m m2 x2 Do x1 x2 nên Mà x1 x2 m nên x2 max x2 m m 2(tm) m m2 m m 2 m 2( ktm) Hay Vậy m GTLN x2 Bài x a x b x b x c x c x a 0 3x a b c x ab bc ca 0 ' a b c 3. ab bc ca a b c ab bc ca 2 Do phương trình có nghiệm kép nên ' 0 a b c ab bc ca 0 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0 2 a b b c c a a b 0 0 b c 0 a b c c a 0 Vậy ABC nên A B C 60 Bài 3 Nếu x, y, z chẵn x , y , z chẵn 3 Nếu x, y, z lẻ x , y , z lẻ 3 x y z x3 y z tính chẵn, lẻ nên x y z x y z ln x chẵn Do y z x y z 2017 vô lý 3 Vậy không tồn số nguyên x, y , z thỏa mãn x y z x y z 2017 Bài C H A M K B Kẻ HK AB K BH BK HC KA (định lý Talet) Ta có: HK / / AC (cùng BH HK BK HK 1 HC KA Mà BHK vuông cân K nên AB ) Mà AKH CAM ( g g ) BH HC Từ (1) (2) ta có: HK AM MA 2 AK CA AB