SỞ GD VÀ ĐT TỈNH TRÀ VINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN Câu (4 điểm) x x 3x x M : 1 x x x x Cho biểu thức 1) Rút gọn M 2) Tìm x để M Câu (2 điểm) N a b3 c a b abc a b c Cho Tính giá trị biểu thức x y 5 x y x y 7 Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình Câu (3 điểm) Giải phương trình x x 1 x x 6 1 2 x , y , z x y z Câu (2 điểm) Cho ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức P xyz Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự hình chiếu H AB, AC Đặt AB c, AC b 1) Tính AH , AI , AK theo b, c BI c 2) Chứng minh CK b Câu (2 điểm) Từ điểm A đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với B, C tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN 2ON AM Đường trung trực đoạn thẳng CN cắt OA M Tính tỉ số AO ĐÁP ÁN Câu 1) Điều kiện x 0, x 9 2 x x x x 3x x x : M x x x x x x x x x 3x x : x x 3 x x 3 x x x 3 1 M x 2) Để 6 x x 3 0 3 M x 0 x 3 x 3 0 x 9 Vậy x Câu Vì a b c 0 c a b Ta có : N a3 b3 c a b abc a b3 a b a b abc a b3 a ab a 2b b3 abc ab a b c ab.0 0 x y 5 1 x y x y 7 Câu 3.Giải hệ phương trình : Từ (1): x 4 y , vào (2): y y y y 7 2 y y 7 Với y y y 7 y x Với Với Vậy y y y 7 y 1 x 9 y y y 7 y x 1 x; y 7; 3 ; 9;1 ; 1; 1 Câu 4.Giải phương trình : x x 1 x x 6 Điều kiện : x x 0 x x x x 6 1 Đặt x x t t 0 phương trình (1) trở thành : t 4(tm) t 3t 0 t 3t 0 t 1( ktm) x 2 t 4 x x 16 x Vậy nghiệm phương trình x 2 x Câu 1 1 1 2 1 1 1 x 1 y 1 z Ta có : x y z y z 2 1 y 1 z 2 1 x yz 1 y 1 z (bất đẳng thức Cô si cho x, y , z số dương) yz 1 y 1 z 2 1 y xz 1 x 1 z ; 2 1 z yz 1 y 1 x Tương tự : Nhân vế với vế ta : 1 xyz 8 xyz xyz x y z 1 x 1 y 1 z 1 x y z Vậy giá trị lớn cần tìm Câu B b' I H c' A C K 1) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH : 1 1 AH AH AB AC 1 b2 c Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHB vuông H, đường cao HI : 1 AI AB AH AI c AI 1 c b2 c2 b2 c Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHC vuông H, đường cao HK : AK AC AH AK b 1 b2 c AK c b b c2 BI IH BI AB c HI / / AC AB AC IH AC b BAC 2) Xét tam giác có CK HK HK AB c AC AB CK AC b BAC Xét tam giác có Xét HIK ABC có : IHK BAC 90 ; HIK ABC HAK HI AB c HIK ∽ ABC ( g g ) HK AC b c3 c c c BI HK HI BI Do : b b b b IH CK HK CK HK / / AB BI c CK b Vậy Câu B K N O M A C Gọi K trung điểm BN Vì M thuộc đường trung trực đoạn thẳng CN MN MC Vì M thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC (Do AB, AC hai tiếp tuyến A, B (O) cắt A) MB MC Xét tam giác MBN có MB MN MC MBN cân M MK vừa trung tuyến vừa đường cao MBN MK OB AM BK AB OB AB / / MK OA OB Mà AM AO Vậy