SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI TỐN Thời gian làm 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC A Câu Tính 2 3 3 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm B 6;0 , C 0;3 đường thẳng m 0, m d m có phương trình: y mx 2m 2, với m tham số, a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng d m BC b) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng d m chia tam giác OBC thành hai phần có diện tích (O gốc tọa độ) Câu a) Tìm x, biết: 24 x x x 12 x y 19 x y 14 18 y 3 b) Giải hệ phương trình : x Câu Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,35 điểm Kết cụ thể ghi bảng sau, có ba ô bị mờ chữ số hàng đơn vị khơng đọc (tại vị trí đánh dấu *) Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba Câu Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M trung điểm AB Lấy hai điểm D, E nằm cạnh AB, AC cho DB DA AB, EA EC OD OE 2 a) Chứng minh MA MD DA.DB 2 b) Chứng minh rằng: OA OD DA.DB DA.DB EA.EC c) Gọi G, H , K trung điểm đoạn BE , CD ED Chứng minh đường thẳng ED tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp GHK Câu Cho ba số x, y , z thỏa hệ thức z 1 x y 1 x zy 2 Chứng minh 2x y z2 z 1 7 tìm tất số nguyên x, y, z thỏa hệ thức ĐÁP ÁN Câu 1 Ta có: 2 2 4 3 1 3 9 3 3 A 2 2 1 3 Câu a) Phương trình BC có dạng y ax b qua B C nên có hệ phương trình 3 b a a b y x b 3 nên phương trình đường thẳng BC mx 2m x Phương trình hoành độ giao điểm d m BC là: m 2m 1 x 2 2m 1 x 2 nên giao điểm K 2;2 1 SOBC OC.OB 3.6 9(dvdt ) 2 b) Ta có: Nếu d m cắt cạnh OC D d m chia thành hai phần CDK tứ giác S SCDK SCOK xK OC 3 OBC DOBK mà: 2 nên nhận xE 2 m đồng thời thỏa : Khi d m cắt cạnh OB E ta có yE 0 1 S KEB yK EB xB xE m 2 d m chia tam giác OBC thành hai phần có diện tích khi: S KEB 4 m 4(tmdk ) m Câu a) Điều kiện: x 0 x 0 x 3 x 3 3 Ta có: 24 x 4 x x x x 4 Nên phương trình trở thành: Hay x x x x 0 3 x 3 x x x x x x 0 x 1 x 2(tm) b) Điều kiện : x 1, y , biến đổi phương trình thứ hai thành: 13 x y 3 12 X 7Y 19 X 1 1 X ;Y x y ta có hệ phương trình: 8 X 5Y 13 Y 1 Đặt x 1 x 2 y 1 Vậy y , Vậy hệ có nghiệm x; y 2; Câu Tổng số ô bị mờ số 100 40 44 Tổng số điểm 100 lần bắn 8,35.100 835 Tổng số điểm vị trí khơng bị số 9.40 6.9 5.3 449 Suy tổng số điểm bắn vị trí ô bị 835 449 386, số chẵn Suy ô điểm số lần bắn số chẵn, có khả 10,12,14 Gọi x, y số lần bắn 10 điểm điểm Điều kiện: x, y ,20 x 30;10 x 20 Trường hợp 1: Ô điểm nhận giá trị 10, theo đề ta có hệ phương trình x y 34 x y 34 x 22 (tmdk ) 449 10 x y 70 835 10 x y 316 y 12 Trường hợp 2:Ô điểm nhận giá trị 12, ta có hệ phương trình: x y 32 x y 32 x 23 (ktm) 449 10 x y 84 835 10 x y 316 y 9 x 20 y 10 Trường hợp :Ô điểm nhận giá trị 14, , suy Tổng số điểm bắn là: 20.10 9.40 8.10 7.14 6.9 5.7 827 không phù hợp Vậy chữ số hàng đơn vị ô 10 điểm, điểm, điểm 2,2, Câu A E M D K G O H C B 2 a) Ta có: MA MD MA MD MA MD 2 Mà MA MD DA, MA MD MB MD DB nên MA MD DA.DB b) Do M trung điểm AB nên OM AB OD OM MD & OM OA2 MA2 OD OA2 MA2 MD OA2 DA.DB (1) OA2 OD DA.DB 2 (2) Tương tự ta có OA OE EA.EC Mà theo giả thiết ta có: OD OE nên từ (1) (2) cho ta: DA.DB EA.EC c) Do G, H , K trung điểm đoạn BE , CD ED nên (3) KG / / AB KH / / AC nên GKH DAE Mặt khác theo tính chất đường trung bình ta có : KH KG DB KG (3) DB EC nên DB EC DB EA KG AE DA.DB EA.EC (4) EC DA KH AD Theo câu b, Từ (3) (4) AED KGH KGH AED Mà KH / / AC EKH AED Suy KGH EKH nên ED tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp GHK Câu Từ hai hệ cho , xem z tham số giải hệ phương trình ẩn x, y theo z ta được: z2 2z 2z 2z x y 2x y dfcm z z z z 1 z z 1 z z 1 z z 1 1 z z z x y z z 1 7 Do nên từ hệ thức cho ta z z 7 x y Mà x, y, z suy z z 1 z 3 x (ktm) z z 7 z x 0; y 1(tm) z 0 x 2; y 3(tm) z z 1 z 1 x 3; y 1(tm) Vậy x; y; z 0; 1; ; 2; 3;0 ; 3; 1;1