069 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng bình 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 14/03/2019 Câu A    x 0  x 1 x x 1 x  x 1 Rút gọn tìm giá a) Cho biểu thức trị lớn A b) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức : B   10    10  Câu P x  x  x  x  ax  b bình   a b a) Xác định hệ số để đa thức phương đa thức b) Giải phương trình:  x  x   16 x  x  (1) Câu Cho đường tròn  O  dây cung BC a không đổi  O  BC  A điểm di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CK cắt H  D  BC , E  CK , K  AB    a) Trong trường hợp BHC BOC , tính AH theo a b) Trong trường hợp bất kỳ, tìm vị trí A để tích DH DA nhận giá trị lớn n Câu Tìm tất số tự nhiên n cho C 2019  2020 số phương Câu Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh rằng: x  y  z  2  yz  zx  xy  Câu Cho tam giác vng ABC có AB 3, AC 4, BC 5 Xét hình chữ nhật MNPQ cho MN thuộc cạnh BC , P thuộc cạnh AC , Q thuộc cạnh AB Hãy xác định kích thước hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn ĐÁP ÁN Câu a) Với x 0, ta có: A  x  x 1   x 1 x  x 1   x  x 1  x 1  x  x 1 x  1    x  x  x     x x x x 1  1   x  x   x     0, x 0 2    x 0, x 0 Ta có:   Và  x  x  0, x 0  x  x  0, x 0 x   x , x 0   A 1  x 1 Vậy Max A 1  x 1 x x 1, x 0  A 1, x 0 x 1 b) B 4  10    10     4 8  16  10  8   8  8    10   10    51   6   B    1 Câu a) Ta có P  x  bình phương đa thức : P ( x)  x  cx  d  x  2cx   c  d  x  2cdx  d , x   Mà P  x  x  x  3x  ax  b , ta có hệ phương trình: 2c  c    c  2d 3 d 1   cd  a  a  d b b 1 Vậy a  2, b 1  b) ĐKXĐ: Ta có:   x  4   x  x  3  x  4  3 x    x  4  3 4x  1  4x  1  4x  x   x 2   2 Lại có:  16 x  x  2   x  1 2  3 Từ (2) (3) ta có:    x   x 2   1    16 x  x  2 3  x    x    x    x 4  16 x  x  0   x 4    x    x  0         x   x  (tmdk ) 4  x       x   x  Vậy Câu A I O K B E H D M C 0     a) Xét tứ giác AKHE có K E 90  BAC  BHC 180 0       Mà BHC BOC BOC 2 BAC  3BAC 180  BAC 60 Kẻ đường kính BI , suy tứ giác AICH hình bình hành nên AH CI (1) Gọi M trung điểm BC  IC 2OM (2) (tính chất đường trung bình) Từ (1) (2) suy AH 2OM Do M trung điểm BC  OM  BC OM tia phân giác   BOC  MOC 600 a a a  OM MC.cot 600    AH  b) Ta có: DBH DAC  Áp dụng bđt  x  y xy  DB DH   DA.DH DB.DC DA DC Dấu " " xảy x  y a2  4 (khơng đổi) Ta có: Dấu “ " xảy DB DC  D trung điểm BC) a2  DA.DH nhận giá trị lớn D trung điểm BC  ABC cân A  A điểm cung BC  DB  DC  DA.DH DB.DC  Câu Với số tự nhiên a a chia cho có số dư 0;1;4 Số 2019 chia dư 3; 2020 chia dư n n Suy 2019 3 (mod 8) n 2k n  k , k    2019  1 mod8  n Nếu chẵn  C 5  mod8   C khơng thể số phương n k 1 2k Nếu n lẻ n 2k  1, k    2019 3 3.3 3  mod8   C 7  mod8   C số phương Vậy khơng tồn n thỏa mãn yêu cầu toán Câu 1 a ;b  ;c  1 x 1 y  z x  y  z  xyz  a  b  c 1 Đặt 1 a b  c ca a b x   1  ,y ,z  a a a b c Và x  y  z 6  Vậy b c c a a b  c  a a b         a b c c b   cyc  c  a  a  b 2 bc cyc 2  yz  zx  xy  Đẳng thức xảy a b c hay x  y z 2 Câu A Q K P C B M H N Gọi H , K hình chiếu vng góc A BC , PQ Tam giác ABC vuông A nên AH  AB AC 12  BC Đặt PN x, PQ  y PQ AK y 25   1  x  y 5  x 12 12 Vì APQ ACB nên CB AH S MNPQ 25 25  6 x y 5 x  x 3   x   3 12 12  5 S MNPQ Vậy giá trị lớn  x   3    y 5 