052 đề thi hsg toán 9 tỉnh quảng ngãi 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Cho a, b, c ba số nguyên thỏa mãn a  b c  2018c Chứng minh A a  b3  c chia hết cho x y b) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn 1  c) Cho B 1.2.3  2.3.4  3.4.5   n  n  1  n   với n   * Chứng minh B khơng thể số phương Bài 2 a) Giải phương trình : 3x  x  11  x   x  2  x  x  y  y   3 2 b) Giải hệ phương trình:  x  y x y  xy  Bài C  1 x  x2  x  1  x x 1 a) Rút gọn biểu thức với x  b) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 Tìm GTLN D ab  ac c) Với x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh  y  z  x   z  x  y   x  y  z  xyz Bài Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  , đường phân giác AD  D  BC  Các điểm E F chuyển động caanhj AB, AC cho BE CF Trên cạnh BC lấy điểm P Q cho EP FQ song song với AD a) So sánh BP CQ b) Chứng minh trọng tâm G tam giác AEF thuộc đường thẳng cố định Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi C trung điểm AO, vẽ tia Cx vng góc với AB cắt nửa đường trịn (O) I Lấy K điểm đoạn CI (K khác C I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia Cx D Vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O  M cắt tia Cx N a) Chứng minh KMN cân b) Tính diện tích ABD theo R K trung điểm CI c) Khi K di động CL Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AKD qua điểm cố định thứ hai khác A ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: a  b c  2018c  a  b  c  c  1 c  c  1  2016c chia hết cho Mặt khác a  b3  c    a  b  c   a  1 a  a  1   b  1 b  b  1   c  1 c  c  1 3 hết cho Do A a  b  c chia hết cho b) Xét x 1  y 1 y k x Xét x 2 8 Nếu y chẵn , đặt y 2k  k   *   1  2  mod8  , vô lý y k Nếu y lẻ, đặt y 2k  1 k   *   1  4  mod8  , vô lý Vậy x  y 1 thỏa mãn tốn c) Ta có : B 1.2.3.4  2.3.4.  1  3.4.5      n  n  1  n     n     n  1  n  n  1  n    n   n  6n  11n  6n  n  6n  11n  6n   n  3n  1 Mặt khác: n  6n3  11n  6n  n  6n3  9n  n  3n    n  3n   B   n  3n  1 2 Do B khơng thể số phương Bài a) ĐKXĐ: x  Phương trình tương đương 3x  3x  3x x   x   x   x x   x   x  0   3x x     x 1    3x   x      3x   x  x    3x  3x   3x  0  x  0 chia Xét 3 x   x  1 x  x     x 3  x  Xét 3x    x  3  x  4  x    x  x      S 3;     Vậy  x  y   x  y  1 5  x  y x  y 6       b) Hệ phương trình  x  y a  x  y b Đặt  ta có:  a  1 b 5  ab 6 Nếu b 0  x  y, vơ nghiệm b 0 ta có:    b 2  a     b  5b  0     b   a      ab 6  a  b Thế vào  a  1 b 5   x    y    11 x  x  y   3   x  y 3  y    x  y  2   x  y 2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm    11   ;   ; ;     4   6    x; y    Bài C x  a) Ta có x2  x   x  1  x 2x x  x2    x 1 x   x  1 x 1  x x   x x   x    x 1  x 1 x 1 x 1  1 1  D a  b  c  a   a   a  a   a     2 4  b) Ta có: 1 a b c  GTLN D , đạt c) Vì x, y, z độ dài ba cạnh tam giác nên y  z  x; z  x  y; x  y  z  Áp dụng BĐT Cơ si ta có:  y  z  x   z  x  y  z  z  x  y   x  y  z  x  x  y  z   y  z  x  y Nhân vế theo vế BĐT ta có đpcm Bài A E B G O P D N M F Q C BD BA BD CD    BA CA a) Vì AD phân giác nên CD CA BP BD CD CQ PF / / AD / / QE     BE BA CA CF , Mà BE CF  BP CQ Lại có b) Gọi M , N trung điểm BC , EF MN đường trung bình hình thang PEFQ  MN / / PE / / AD , Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định Gọi O trọng tâm tam giác ABC AG AO    OG / / MN Ta có: AN AM mà O cố định nên G di động đường thẳng qua O song song với MN cố định Bài D M I K E A C O B     a) Ta có: KMN MBA , tứ giác BMKC có BMK BCK 90 nên nội tiếp      MKN MBA  MKN KMN  KMN cân N AC KC    KAC BDC ; ACK BCD  ACK DCB   DC CE b) Ta có:  DC  Do đó: AC.CB  R 3R    : KC 2  S ABD  R2  R2 R DC AB R 3.2 R  R 2    c) Gọi E điểm đối xứng với B qua C Ta có CDE CDB CAK nên tứ giác AKDE nội tiếp Do đường trịn ngoại tiếp AKD đường trịn ngoại tiếp tứ giác AKDE Ta có A, C , B cố định nên AE cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp AKD qua điểm cố định thứ E khác A