SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài a) Cho a, b, c ba số nguyên thỏa mãn a b c 2018c Chứng minh A a b3 c chia hết cho x y b) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn 1 c) Cho B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n với n * Chứng minh B khơng thể số phương Bài 2 a) Giải phương trình : 3x x 11 x x 2 x x y y 3 2 b) Giải hệ phương trình: x y x y xy Bài C 1 x x2 x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức với x b) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm GTLN D ab ac c) Với x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh y z x z x y x y z xyz Bài Cho tam giác ABC nhọn AB AC , đường phân giác AD D BC Các điểm E F chuyển động caanhj AB, AC cho BE CF Trên cạnh BC lấy điểm P Q cho EP FQ song song với AD a) So sánh BP CQ b) Chứng minh trọng tâm G tam giác AEF thuộc đường thẳng cố định Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R Gọi C trung điểm AO, vẽ tia Cx vng góc với AB cắt nửa đường trịn (O) I Lấy K điểm đoạn CI (K khác C I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia Cx D Vẽ tiếp tuyến với đường tròn O M cắt tia Cx N a) Chứng minh KMN cân b) Tính diện tích ABD theo R K trung điểm CI c) Khi K di động CL Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AKD qua điểm cố định thứ hai khác A ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: a b c 2018c a b c c 1 c c 1 2016c chia hết cho Mặt khác a b3 c a b c a 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 3 hết cho Do A a b c chia hết cho b) Xét x 1 y 1 y k x Xét x 2 8 Nếu y chẵn , đặt y 2k k * 1 2 mod8 , vô lý y k Nếu y lẻ, đặt y 2k 1 k * 1 4 mod8 , vô lý Vậy x y 1 thỏa mãn tốn c) Ta có : B 1.2.3.4 2.3.4. 1 3.4.5 n n 1 n n n 1 n n 1 n n n 6n 11n 6n n 6n 11n 6n n 3n 1 Mặt khác: n 6n3 11n 6n n 6n3 9n n 3n n 3n B n 3n 1 2 Do B khơng thể số phương Bài a) ĐKXĐ: x Phương trình tương đương 3x 3x 3x x x x x x x x 0 3x x x 1 3x x 3x x x 3x 3x 3x 0 x 0 chia Xét 3 x x 1 x x x 3 x Xét 3x x 3 x 4 x x x S 3; Vậy x y x y 1 5 x y x y 6 b) Hệ phương trình x y a x y b Đặt ta có: a 1 b 5 ab 6 Nếu b 0 x y, vơ nghiệm b 0 ta có: b 2 a b 5b 0 b a ab 6 a b Thế vào a 1 b 5 x y 11 x x y 3 x y 3 y x y 2 x y 2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm 11 ; ; ; 4 6 x; y Bài C x a) Ta có x2 x x 1 x 2x x x2 x 1 x x 1 x 1 x x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 D a b c a a a a a 2 4 b) Ta có: 1 a b c GTLN D , đạt c) Vì x, y, z độ dài ba cạnh tam giác nên y z x; z x y; x y z Áp dụng BĐT Cơ si ta có: y z x z x y z z x y x y z x x y z y z x y Nhân vế theo vế BĐT ta có đpcm Bài A E B G O P D N M F Q C BD BA BD CD BA CA a) Vì AD phân giác nên CD CA BP BD CD CQ PF / / AD / / QE BE BA CA CF , Mà BE CF BP CQ Lại có b) Gọi M , N trung điểm BC , EF MN đường trung bình hình thang PEFQ MN / / PE / / AD , Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định Gọi O trọng tâm tam giác ABC AG AO OG / / MN Ta có: AN AM mà O cố định nên G di động đường thẳng qua O song song với MN cố định Bài D M I K E A C O B a) Ta có: KMN MBA , tứ giác BMKC có BMK BCK 90 nên nội tiếp MKN MBA MKN KMN KMN cân N AC KC KAC BDC ; ACK BCD ACK DCB DC CE b) Ta có: DC Do đó: AC.CB R 3R : KC 2 S ABD R2 R2 R DC AB R 3.2 R R 2 c) Gọi E điểm đối xứng với B qua C Ta có CDE CDB CAK nên tứ giác AKDE nội tiếp Do đường trịn ngoại tiếp AKD đường trịn ngoại tiếp tứ giác AKDE Ta có A, C , B cố định nên AE cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp AKD qua điểm cố định thứ E khác A