SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Ngày thi: 24/02/2016 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số ngun tố đơi khác nhau, biết tích ba số năm lần tổng chúng b) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đẳng thức x 2y 3xy 2x 4y 0 2b 2c 2a c) Tìm số a, b, c biết a ; b ; c b2 c2 1 a2 Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x 3 1 x y 1 b) Giải hệ phương trình x y xy Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh x y z b) Cho a, b, c số dương Chứng minh b số trung bình cộng a c a b b c c a Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA M; nối E với B cắt OD N a) Tính CM.CE + BD2 theo R OM ON số AM DN OM ON c) Tìm vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị AM DN b) Chứng minh tích Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo) Tìm độ dài cạnh tam giác đó, biết 3.A B 1800 b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC 60o , BC 2 cm Bên tam giác cho 2017 điểm Chứng minh 2017 điểm ln tìm 169 điểm mà khoảng cách chúng không lớn 1cm HẾT Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Ngày thi: 24/02/2016 Mơn thi: Tốn HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN - LỚP Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số ngun tố đơi khác nhau, biết tích ba số năm lần tổng chúng b) Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đẳng thức x 2y 3xy 2x 4y 0 2b 2c 2a b c c) Tìm số a, b, c biết a ; ; b2 c2 1 a2 Tóm tắt cách giải a) Gọi a, b, c ba số nguyên tố khác phải tìm Ta có a.b.c = 5(a + b + c) a b 5 c 5 Vì a, b, c ba số nguyên tố nên a = 5, b =5, c = Giả sử a = a.b.c = 5(a + b + c) ta có: b.c = + b + c b.c – b – c = b( c – 1) – (c – 1) = (b – 1)(c – 1) = Vì b, c số nguyên tố nên b – 1; c – số tự nhiên có vai trị Do : b 1 b 2 * (nhận) c 6 c 7 b 2 b 3 * c 3 c 4 P Vậy ba số nguyên tố khác phải tìm 2; 5; b) Ta có x 2y 3xy 2x 4y 0 x 2y x y Do x, y nguyên dương nên x – 2y; x – y + số nguyên Mà 1 3 nên ta có bốn trường hợp: x 2y x 3 x 2y 3 x loai * ; * x y 3 y 2 x y y x 2y 1 x 11 x 2y x 1 loai ; * * x y y x y 1 y 2 Vậy giá trị cần tìm (x; y) (1;2),(3; 2) c) Vì a = 2b 2c 2a ; b = ; c = b2 1 c2 1 a2 2b 2b a= = b (so sánh hai phân số có tử) 2b b2 2c 2c + c2 2c b = = c (so sánh hai phân số có tử) 2c 1 c2 1+ b 2b 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (gt) Nên a; b; c số không âm Ta thấy với a = b = c = (thỏa mãn) Nếu a, b, c dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta được: Điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm + a 2a c = 2a 1 a2 2a = a (so sánh hai phân số có tử) 2a 0,25 điểm Do a = b = c = Vậy : a = b = c = a = b = c = số cần tìm Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x x 3 1 x y 1 b) Giải hệ phương trình x y xy Tóm tắt cách giải a) Đặt x = a ; x = b ( b 0) Vậy x – = a3 x + = b2 (1) a b 3 Ta : Từ (1) suy b = – a vào (2) ta có: b a 3 (2) Điểm 0,5 điểm 2 (3 – a)2 – a3 = a a 6a 0 a 1 a 0 Vì a2 + nên a – = a = Suy b = (thoả mãn) Thế vào x + = b2 = 22 = x 3 Vậy phương trình có nghiệm x 3 b) ĐKXĐ : | x | 1; | y | xy -2 1 x y x y x y 1 2 2 x y (x 1)(y 1) xy x y xy x y x y (1) 2 2 2 x y x y (x y ) xy 0 (2) Thay (1) vào (2) ta (xy)2 – xy – = Giải ta được: xy = -1 (TM ĐK) xy = (TMĐK) * Nếu xy = -1 x2 + y2 = (x + y)2 = -1, phương trình vơ nghiệm * Nếu xy = x2 + y2 = x + y = 2 Ta có hệ phương trình: x x x y 2 x y 2 * (TM) * (TM) x.y 2 x.y 2 y y Vậy : Nghiệm hệ phương trình (x;y) ( 2; 2);( 2; 2) 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh x y z b) Cho a, b, c số dương Chứng minh b số trung bình cộng a c a b b c c a Tóm tắt cách giải Điểm y 2y ; z 2z a) Ta có x 2x ; Và x y 2xy ; y z 2yz ; z x 2zx Cộng bất đẳng thức ta : 0,75 điểm 0,75 điểm 3(x y z ) 2( x y z xy yz zx) 0,25 điểm 3(x y z ) 12 x y2 z 0,25 điểm Dấu “=” xảy x = y = z = 1 b) Ta có a b a b b c c a c a c a (*) b c 0,25 điểm Biến đổi vế trái (*): VT c a b b c a c b a b c a b c 0,5 điểm Biến đổi vế phải (*): VP b c a Ta có: b Vậy: a b c b a c a b c a b a c a c 2b b a c b nên đẳng thức (*) a b b c c a 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA M; nối E với B cắt OD N a) Tính CM.CE + BD2 theo R OM ON số AM DN OM ON c) Tìm vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị AM DN b) Chứng minh tích Tóm tắt cách giải Điểm C M A B O N 0,5 điểm E D a) Xét COM CED có COM góc chung CED 900 ECD COM ഗ CED (g.g) CO CM CM.CE CO.CD R.2R 2R CE CD 0,5 điểm 0,5 điểm Xét OBD vuông O Theo định lý Py-ta-go BD OB2 OD R R 2R Vậy CM.CE BD 2R 2R 4R 0,25 điểm 0,25 điểm S OM CO ED.CO OM (1) ED CE CE chung , A E 450 ) AM EA.AC (2) Ta có: AMC ഗ EAC ( C CE OM OC.ED ED (3) ( AOC vuông cân O) Từ (1) (2) suy ra: AM AC.EA 2EA b) Ta có: COM CED (cmt) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Tương tự : chung ; O E 900 ON OB ON OB.EA (4) EAB B EA EB EB DN DB DB.ED chung, D E 450 ) DN (5) DNB EDB (B ED EB EB ON OB.EA EA (6) Từ (4) (5): DN DB.ED 2ED OM ON số Từ (3) (6): AM DN S ONB 0,25 điểm S OM ON , y Ta có: x, y khơng âm và: AM DN x y xy 0 x y 2 xy 2 2 0,25 điểm 0,25 điểm c) Đặt x x y 1 x y (TMĐK) 2 OM ED OM ON EA ED Vậy: Tổng AM 2EA AM DN E điểm cung nhỏ AD Dấu "=" xảy khi: x = y xy = 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo) Tìm độ dài cạnh tam giác đó, biết A B 1800 b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC 60o , BC 2 cm Bên tam giác cho 2017 điểm Chứng minh 2017 điểm ln tìm 169 điểm mà khoảng cách chúng khơng lớn 1cm Tóm tắt cách giải Điểm a) C 0,25 điểm A D B B C C 2A B Ta có A B 1800 A B A Trong ABC ta có : A C B AB > BC, AB > AC AB cạnh lớn 2A B C C 0,25 điểm 0,25 điểm Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC ADC cân A chung Xét CBD ABC có B S 2B A 1800 A 3A B) ACB CDB 1800 ADC 1800 1800 1800 (A 2 BC BD CBD ABC BC AB.BD BC AB.(AB AC) (*) AB BC 0,25 điểm Vì AB cạnh lớn AB, AC, BC số nguyên liên tiếp nên ta có hai trường hợp sau: TH 1: AB = n + 2, BC = n + 1, CA = n (n số nguyên dương) 0,25 điểm (*) (n + 1)2 = (n + 2).2 n2 = n (loại) TH 2: AB = n + 2, BC = n, CA = n + (n số nguyên dương) (*) n2 = (n + 2).1 n2 – n – = n (loại); n = (nhận) 0,25 điểm Vậy BC = (đvd); CA = 3(đvd); AB = (đvd) b) 0,25 điểm A E F P I G B cm N O M H C Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB OM BC, ON AC, OP AB Do tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác ABC Vì BAC 1200 MOC 600 600 nên BOC MC OA OB OC 3: 2 (cm) sin 60 Ta thấy tam giác ABC chia thành tứ giác ANOP, BPOM, CNOM nội tiếp đường trịn có đường kính OA = OB = OC = 2cm Vì 2017 = 672 3 + Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tứ giác chứa 673 điểm 2017 điểm cho Giả sử tứ giác ANOP Gọi E, F, G, H trung điểm NA, AP, PO, ON I trung điểm OA, suy IA IP IO IN 1 cm Khi tứ giác ANOP chia thành tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp đường trịn có đường kính 1cm Vì 673 = 168 4 + Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tứ giác chứa 169 điểm 673 điểm cho, giả sử tứ giác AEIF chứa 169 điểm số 2017 điểm cho Vì điểm nằm tứ giác AEIF nên chúng nằm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, khoảng cách khơng lớn đường kính đường trịn này, nghĩa khoảng cách chúng khơng vượt 1cm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Ghi : + Mỗi tốn có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống biểu điểm chi tiết cho tình làm học sinh + Bài Hình học, khơng có hình vẽ học sinh thực bước giải có logic cho nửa số điểm tối đa phần Vẽ hình sai (về mặt chất) lời giải khơng cho điểm + Điểm câu tồn khơng làm tròn số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI Phân môn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 MA TRẬN ĐỀ THI Mức độ Thông hiểu Nhận biết Vận dụng Thấp Cao Cộng SỐ HỌC Các chủ đề Bài 1a Số nguyên tố 1,5 Phương trình nghiệm nguyên 4,0 Bài 1b 1,5 Tìm số thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1c ĐẠI SỐ 1,0 Giải phương trình chứa thức Bài 2a 2,0 Giải hệ phương trình chứa thức Bài 2b 8,0 2,0 Chứng minh bất đẳng thức Bài 3a 2,0 Chứng minh đẳng thức theo điều kiện cho trước Bài 3b HÌNH HỌC 2,0 Đường trịn, tính giá trị biểu thức Vẽ hình Bài 4a 0,5 1,5 Các loại góc với đường trịn, tam giác đồng dạng Tìm vị trí điểm thoả mãn ĐK cho trước 8,0 Bài 4b 1,5 Bài 4c Vẽ hình Tìm độ dài cạnh tam giác 1,5 Bài 5a 0,25 1,2 Vẽ hình Tỉ số lượng giác, góc tâm, tứ giác nội tiếp, nguyên lýDirichlet Bài 5b 0,25 1,2 5 12 Tổng cộng 0,5 4,0 7,75 7,75 20,0 Bài 3: (4,0 điểm) c) Cho a, b, c số dương Chứng minh b số trung bình cộng a c a b b c c a CÁCH KHÁC: b) Vì b số trung bình cộng a c nên 2b = a + c a – b = b – c Nếu a = b suy a = b = c Khi đẳng thức hiển nhiên Nếu a, b, c đôi khác ta có: a b b c c a a b b c a b b c c a a c a b c a a c 2 a b 2b a c (đúng) Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Vẽ hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA M; nối E với B cắt OD N a) Tính CM.CE + BD2 theo R OM ON số AM DN OM ON c) Tìm vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị AM DN b) Chứng minh tích CÁCH KHÁC: b) C M A O B N E F D Gọi F giao điểm BE AD Ta có tam giác COA vng cân O; tam giác BDA vuông cân D; ACM ; ABF OM DF nên (1) MCO FBD AM AF Áp dụng định lí Mê-nê-la-uts vào tam giác AOD ba điểm B, N, F thẳng hàng ta có: BO FA ND NO FD BO R 1 (2) BA FD NO ND FA BA 2R OM ON số AM DN Từ (1) (2) suy Bài 5: (3,0 điểm) 60o , BC 2 cm Bên tam giác b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC cho 2017 điểm Chứng minh 2017 điểm ln tìm 169 điểm mà khoảng cách chúng không lớn 1cm CÁCH KHÁC:b) A I H O F B E G D C Gọi D, E, F thứ tự trung điểm BC, CA, AB Ta bốn tam giác AEF, BFD, CDE, DEF Ta có 2017 = 4.504 + nên bốn tam giác nói có tam giác chứa 505 điểm cho Chẳng hạn tam giác AEF Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Vẽ OG, OH, OI thứ tự vng góc với EF, AE, AF Dễ thấy tứ giác OIAH, OHEG, OGFI nội tiếp đường trịn đường kính tương ứng OA, OE, OF Ta có 505 = 3.168 + nên ba tứ giác nói có tứ giác chứa 169 điểm cho Chẳng hạn tứ giác OIAH BC 3 2 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2sin A 2.sin 60 (cm) 2 Mà AEF ഗ ABC với tỉ số đồng dạng nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF 1cm, tức OA = OE = OF = 1cm Tứ giác OIAH nội tiếp đường trịn đường kính OA = 1cm, chứa 169 điểm khoảng cách chúng không lớn 1cm