PHỊNG GD&ĐT NGHI LỘC Đề thức Đề thi gồm có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 Mơn thi: Tốn Thời gian làm : 150 phút P x x Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức 1 x 3 x x 2 1 x x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P Câu (5,0 điểm) a) Cho x số thực thỏa mãn x x 0 Tính giá trị biểu thức P x x b) Giải phương trình : 3x x 2 x 32 x c) Giải phương trình : 30 x x x 2 2 a b2 2 2 a b b a d) Cho a, b số thực dương Chứng minh Câu (5,0 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên x y 5 xy 3 b) Với a, b, c số nguyên Chứng minh a b c chia hết cho a b c chia hết cho c) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị lớn xy yz zx P z xy x yz y zx biểu thức Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC với trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM cho BD 2MD Biết MCD BCD Chứng minh tam giác ACD vng b) Cho hình vng ABCD Điểm M nằm đoạn BD (M khác B D) Gọi P, Q chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng BC , CD Chứng minh ba đường thẳng AM , BQ, DP đồng quy Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AD đường phân giác góc 1 A (D nằm cạnh BC ) Chứng minh AD AB AC ĐÁP ÁN Câu x 0 x 1 a) ĐKXĐ: P x 1 x x x x x4 x x 4 1 x 1 x 1 1 x 1 x x x x 4 x 1 x 1 x b) P x x 1 x Câu x 4 x a) Do x 0 không thỏa mãn hệ thức nên ta có : 1 P x x x 3 52 x x x b) Điều kiện : x 1 Phương trình viết dạng tương đương: 3x x 3x x 3x 3x x 3x x x 1(do x x 0) x x x 1 x x 1 (tm) x c) Điều kiện : x 30 Phương trình viết dạng tương đương: Đặt t 30 x 30 x 30 x x x t 2t x x t x t tx x 0 t x 0 x 30 30 x x x 5 x x Vậy phương trình có nghiệm x 5 d) Viết bất đẳng thức dạng tương đương : a b a2 ab b ab 2ab a b a b a b 2 ab 0; 2ab a b Ta có : Để khẳng định BĐT ta cần chứng minh a b * 2 2 a ab b a b 0 Đẳng thức xảy a b Câu a) Viết phương trình dạng tương đương: x y x y 5 Ta có trường hợp thỏa mãn : x y 1 x 2 x y 5 x 2 Th1: Th : 2 x y 5 y 1 2 x y 1 y x y x x y x Th3: Th : 2 x y y 3 2 x y y b) Ta có a a a a 1 a 1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết a a6 3 a a b b c c chia hết cho Áp dụng kết ta có : 3 3 3 Vậy a b c a b c chia hết a b c chia hết cho a b c chia hết cho c) Sử dụng giả thiết ta viết P dạng : P xy x z y z yz y x z x zx z y x y Áp dụng BĐT ab a b a, b 0 Ta có : xy 1 x y x z y z x z y z yz 1 y z y x z x y x z x ; zx 1 z x z y x y z y x y Cộng BĐT chiều ta có : 3 P Max P x y z 2 Câu a) C A B MD P Xét tam giác MCB có CD đường phân giác nên DB BC 2 BC 2CM MD CM Gọi P điểm đối xứng với C qua M, ta có : PC 2 PM BC nên tam giác CPB cân C có CD đường phân giác nên CD PB Tứ giác ACBP hình bình hành nên PB / / AC Từ suy CD vuông góc với AC nên tam giác ACD vng C b) A K B P M I D Q C Gọi K giao điểm MQ với AB, I giao điểm AM với PQ KAM MQP (c.g.c) MAK PQM QMI AMK nên QMI PQM AMK MAK 90 AM PQ Ta có: PC MQ DQ; DC AD DCP ADQ(c.g c ) Suy PDC QAD nên PDC DQA DAQ DQA 90 Vậy PD AQ Chứng minh tương tự, ta có : QB AP Như , AM , BQ, DP đường cao tam giác APQ nên chúng đồng quy Câu B D A C E Dựng DE AC E AC AED vuông cân E nên AD AE 1 Ta có : EC DE AC AE AE AC AB AC AB S ABC S ABD S ADC 1 AB AC AB AD.sin BAD AC AD.sin CAD 2 AB AC AD.sin 45 AB AC AB AC AD. AB AC AB AD AC AB AC 1 AD AB AC AB AC