040 đề thi hsg toán 9 huyện nghi lộc 2020 2021

PHỊNG GD&ĐT NGHI LỘC Đề thức Đề thi gồm có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 Mơn thi: Tốn Thời gian làm : 150 phút P  x  x Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức 1 x   3 x  x  2 1 x  x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P  Câu (5,0 điểm) a) Cho x số thực thỏa mãn x  x  0 Tính giá trị biểu thức P x  x b) Giải phương trình : 3x   x  2 x   32  x  c) Giải phương trình : 30  x x x 2 2  a b2  2    2  a  b  b a d) Cho a, b số thực dương Chứng minh  Câu (5,0 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên x  y 5  xy 3 b) Với a, b, c số nguyên Chứng minh a  b  c chia hết cho a  b  c chia hết cho c) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị lớn xy yz zx P   z  xy x  yz y  zx biểu thức Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC với trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM cho BD 2MD Biết MCD BCD Chứng minh tam giác ACD vng b) Cho hình vng ABCD Điểm M nằm đoạn BD (M khác B D) Gọi P, Q chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng BC , CD Chứng minh ba đường thẳng AM , BQ, DP đồng quy Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AD đường phân giác góc 1   A (D nằm cạnh BC ) Chứng minh AD AB AC ĐÁP ÁN Câu  x 0  x 1 a) ĐKXĐ:  P   x 1 x x x x  x4 x x 4    1 x 1 x 1 1 x 1 x    x x x 4 x  1 x 1 x b) P     x   x  1 x Câu  x 4 x a) Do x 0 không thỏa mãn hệ thức nên ta có :     1 P x   x     x    3 52 x  x    x  b) Điều kiện : x 1 Phương trình viết dạng tương đương:  3x   x   3x   x   3x    3x   x     3x   x  x  1(do x   x   0) x  x   x 1  x   x  1   (tm) x   c) Điều kiện : x 30  Phương trình viết dạng tương đương: Đặt t  30  x 30  x   30  x x  x  t  2t x  x   t  x   t  tx  x   0  t x 0 x 30 30  x x    x 5 x  x        Vậy phương trình có nghiệm x 5 d) Viết bất đẳng thức dạng tương đương :  a  b  a2  ab  b   ab 2ab  a  b   a  b  a  b 2 ab  0;  2ab  a  b  Ta có : Để khẳng định BĐT ta cần chứng minh  a  b  * 2 2 a  ab  b   a  b  0 Đẳng thức xảy a b Câu a) Viết phương trình dạng tương đương:  x  y   x  y  5 Ta có trường hợp thỏa mãn :  x  y 1  x 2  x  y 5  x 2 Th1:   Th :   2 x  y 5  y 1 2 x  y 1  y   x  y   x   x  y   x  Th3:   Th :   2 x  y   y 3 2 x  y   y  b) Ta có a  a a  a  1  a  1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết a  a6 3 a  a   b   b  c  c chia hết cho     Áp dụng kết ta có : 3 3 3 Vậy a  b  c   a  b  c  chia hết a  b  c chia hết cho a  b  c chia hết cho c) Sử dụng giả thiết ta viết P dạng : P xy  x  z  y  z  yz  y  x  z  x  zx  z  y  x  y Áp dụng BĐT ab  a b  a, b 0  Ta có : xy 1 x y      x  z   y  z   x  z y  z  yz 1 y z      y  x   z  x   y  x z  x  ; zx 1 z x      z  y   x  y   z  y x  y  Cộng BĐT chiều ta có : 3 P   Max P   x  y z  2 Câu a) C A B MD P Xét tam giác MCB có CD đường phân giác nên DB BC  2  BC 2CM MD CM Gọi P điểm đối xứng với C qua M, ta có : PC 2 PM BC nên tam giác CPB cân C có CD đường phân giác nên CD  PB Tứ giác ACBP hình bình hành nên PB / / AC Từ suy CD vuông góc với AC nên tam giác ACD vng C b) A K B P M I D Q C Gọi K giao điểm MQ với AB, I giao điểm AM với PQ KAM MQP (c.g.c)  MAK PQM QMI AMK nên QMI  PQM AMK  MAK 90  AM  PQ Ta có: PC MQ DQ; DC  AD  DCP ADQ(c.g c ) Suy PDC QAD nên PDC  DQA DAQ  DQA 90 Vậy PD  AQ Chứng minh tương tự, ta có : QB  AP Như , AM , BQ, DP đường cao tam giác APQ nên chúng đồng quy Câu B D A C E Dựng DE  AC  E  AC  AED vuông cân E nên AD  AE  1 Ta có : EC DE AC  AE AE    AC AB AC AB S ABC S ABD  S ADC 1 AB AC  AB AD.sin BAD  AC AD.sin CAD 2  AB AC  AD.sin 45  AB  AC    AB AC   AD. AB  AC    AB AD AC  AB  AC 1    AD AB AC AB AC