021 đề thi hsg toán 9 huyện hoài nhơn 2018 2019

UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019 Mơn:TỐN Thời gian làm : 150 phút Bài (4,0 điểm) A    4 2 3 a) Thu gọn biểu thức x 1  2018 B   x  x  x  x   1    Tính giá trị biểu thức b) Cho 3 3 c) Cho x   2   2 y  17  12  17  12 Tính giá tri biểu 3 thức: C x  y   x  y   2018 Bài (4,0 điểm) a) Tìm số ngun dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số 1   1 A 1.2.3 2017.2018.       2017 2018   b) Chứng minh số tự nhiên chia hết cho 2019 Bài (5,0 điểm) 2 2 2 a  b  c  a  b  b  c  c  a       a , b , c 3.1 Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện a) Tính a  b  c, biết ab  bc  ca 9 b) Chứng minh rằng: Nếu c a, c b c a  b 2019 2019 2019 3 Tìm giá trị lớn biểu thức 3.2 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z E x  y  z Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di động AM AN  1 AB , AC MB NC hai đoạn thẳng cho Đặt AM x, AN  y Chứng minh rằng: 2 a) MN x  y  xy b) MN a  x  y c) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), gọi M trung điểm cạnh BC, H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A KM OM HK  AM 30cm cạnh BC Tính diện tích tam giác ABC , biết ĐÁP ÁN Bài  a)Ta có: b) x 1  ta có:     2      4  1  2 3 2 3 A  2   1 1  1    1 1 Thay x  vào biểu thức, ta được: B   2   c) Ta có:     3   1 2   2   2018   1 2018 1  3  2  3.x   2 6  3x 17  22  17  12  y  17  12 x3  3  2  3  2         2018 y  17  12  Và Cộng vế theo vế, ta được: x3  y 40  x  y  x  y   x  y   2018 2058 34  y 3 3 Vậy C 2058 x   2   2 y  17  12  17  12 Bài  a) Gọi số cần tìm ab , theo đề, ta có 10a  b kab (trong a, b 9 a, b, k  ) 10 10 10 10 b  b 9   9  k  10 ka  1 a k k a a Vì a Suy 10  k   10 :  k  Từ   10 a  1    a  5    k     ;2; ;5;10  a  3   +Nếu a 1 a 3 a. 3k   3   k     k  (ktm) hoac k 2(tm)  ab 36 a b 6  b 6  b 6 k  2  a +Nếu +Nếu a. k   1   b   a 1  k 3(tm)  ab 15 b 5  a 1 a 2 a  2k  5 2   k     b  (ktm) hoac k 3(tm)  ab 24 a b 4  b 4  b   a 1 a. k  5 1  k  5     k 6(tm)  ab 12 a b 2 b 2  +Nếu a 1 a. k  10  1  k  10    k 11(tm)  ab 11 a b 1 b 1  +Nếu Vậy ab   11;12;15;24;36 1  1 B 1.2.3 n.      (*) n  số tự nhiên, :  b) Ta có : Với n 1 B 1    * Với n 1  B 3     * 1  1 B 1.2.3 k         k  Giả sử (*) n k , nghĩa Cần chứng minh (*) n k  1, nghĩa   1 B 1.2.3 (k  1).      k 1    1  1  1 1.2.3 ( k  1).      1.2.3        k  1  1.2.3 k k 1  k   Ta có:  1  1 1.2.3        k    B  k  1  1.2.3 k    Có :  1  1 1.2.3 n.      n  số tự nhiên  Vậy  1  1  1.2.3 2k       1.2 k      2k  k  số tự   Suy ra, với n 2k 1         k  1  k   2k k  k  2 k   nhiên nên số tự nhiên Áp dụng chứng minh ta có:   1   1.2 1009.          1010.1011 2018 1009   1010 1011 2018   số tự nhiên Ta có: 10113  1010.1011 1342 20182019  1324673    1.2 1009.     1010.1011 1342.20182019 1009   33  1.2.3 673 10092019  673673  Và 1    1.2 1009.     1010.1011 20182019 1010 1011 2018   1   1 A 1.2.3 2017.2018.       2017 2018  chia hết cho 2019  Vậy số tự nhiên Bài 3.1 2 2 2 a  b  c  a  b    b  c    c  a  a) Từ  a  b  c   ab  bc  ca  4  ab  bc  ca  mà ab  bc  ca 9 Nên  a  b  c  36  a  b  c 6(do a, b, c  0) 2 2 2 b) Ta có a  b  c  a  b    b  c    c  a    c  a  b  4ab Không tính tổng quát , giả sử c a b Khi ta có: (1)  c  a  b 2b  c  a  b  4ab 4b   (2)  c  a  b 2b  1  c  a  b 0 c a b (2)  c  a  b  2b  c  a  b 0(*), mà c  a 0 , nên (*) vô lý Vậy c a, c b c a  b 3.2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có đánh giá sau: ) x 2019  x 2019  1 1  1     2019 x 2017 so Dấu " " xảy x 1 ) y 2019  y 2019  1 1  1    2019 y 2017 so ) z 2019  z 2019  1 1   1     2019 z 2017 so Khi đó: Dấu " " xảy y 1 Dấu " " xảy z 1  x 2019  y 2019  z 2019   6051 2019  x  y  z   x  y  z 3 Dấu “=” xảy x  y z 1 Vậy E đạt giá trị lớn x  y z 1 Bài A H M I K N E D C B AN  AM  AN   1  MB x  a  x AM AN  NC NC  1       AN AM y  a  y MB NC AM    1  1  NC MB  MB  Vì Khơng tính tổng qt ta giả sử AM  AN Kẻ MH  AC AM AH  AM cos600  Khi ta có: a) Áp dụng định lý Pytago ta có: MN MH  HN  AM  AH   AN  AH  a  x   x ya   y  a  y 2  AM  AN  AN AH  AM  AN  AM AN x  y  xy  x  y   3xy 2 2 MN  x  y  xy  x  y   3xy Vậy b) Theo đề, ta có: (1) AM AN AB AC  1   1  1 MB NC MB NC a a   3  a  a  x  y   a 3a  3a  x  y   xy  a  2a  x  y   3xy (2) a x a y Thay (2) vào (1) ta được: MN  x  y   2a  x  y   a 2   x  y   2a  x  y   a  a  x  y  Vậy MN  a  x  y a  x  y (vì x  y  a ) c) Gọi K, E trung điểm AB, AC , D tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Kẻ DI  MN  I  MN  Khi ta dễ dàng tính được: a a a ; MK   x; NE   y 2 a a KM  NE   x   y MN 2 Ta có:    ax  ay  xy a  a  x  y  KD.MK KE.NE AH AN S DMN 2 S AKD  S MKD  S NED  S AMN DK AK    2 2 DK MN AH AN a a x 3y DK AK      a  x  y   12 12 3 a DK MN   a  a  a  x  y   3xy    ax  ay  3xy    a  x  y   12 12 12 DI MN DK MN   DI DK 2 Do đó: Suy DI bán kính đường tròn nội tiếp, mà MN  DI nên MN tiếp tuyến đường tròn DK DE  Bài A D H O G B M K C Gọi D trung điểm AC Ta chứng minh AHB MOD (3 cặp cạnh song song) AG AB   2  HG 2OG GM MD Gọi G giao điểm AM OH Ta chứng minh AGH MGO( g.g ) AG HG AH   2  AH 2OM GM GO OM Dễ dàng chứng minh tứ giác IMKH hình chữ nhật (hình bình hành có góc vng)  HO KM  HO 4OM  3OG 4OM Áp dụng định lý Pytago tam giác vng OGM , ta có:  16 AM 2 OM  OG GM  OM  OM   5OM  AM  OM 6cm 9 Khi OH 24cm, AH 12cm, AK 18cm 2 2 2 Ta có OC OA  OH  AH 12 5, từ tính BC 2 MC 2 OC  OM 12 19 Vậy S ABC  AK BC 18.12 19  108 19(cm ) 2