031 đề thi hsg toán 9 huyện hà trung 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức  x x    x  1 P     :   x  10  x   x  x   a) Rút gọn biểu thức P x 4   x 1 32  3 2 3 2 32 b) Tính giá trị biểu thức P Câu (4,0 điểm)  x   y    x   y  9 a) Giải hệ phương trình:  x    x   x  1   x  5 b) Giải phương trình: c) Cho số tự nhiên có chữ số Nếu xóa chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 5445 đơn vị Tìm số cho Câu (4,0 điểm) A  2n  1  2n  1 a) Chứng minh chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm tất số nguyên dương x, y , z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: x  y  z  11 x  y  10 z 100 c) Chứng minh Câu (4,0 điểm) xy    x    y  1thì x 2  y  y  x 0 x 2y  1 x , y   x  y a) Cho thỏa mãn Tìm giá trị lớn P xy b) Tìm số tự nhiên n cho B n  n  13 số phương Câu (5,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB 2 R Gọi Ax, By tia vng góc với AB( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax By theo thứ tự C D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD  a) Tính số đo góc COD OI  CD b) Chứng minh OI vng góc với AB c) Chứng minh : AC.BD R d) Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x 10, x   x x    x  1 P     : 10  x  x  x  x       x  1. 10  x    x    x    3 18 x   3x  24 3    x   10  x    3 x  3     x  x   3 x   x   3 3  2 x   2 x   x  10  x  1   x  13 x 1  x x   10  x    1 x 14 : x   10  x   :3 x x    10  x   x  3 10  x  x   x 1 x 12   3 x  x 12  b) x 4 32  3 2  3 2  32  3 2   32  P Vậy Câu 3 2  2 12   3 2 1   3 2 2  2 a) ĐKXĐ: x  1, y 1  x   y   2 x   y    y  1    2 x   y  9 2 x   y  9 2 x   y  9  y  1  y 2  y 2    (TM ) x  x   y    2 x   y  9  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   3;2  b) ĐKXĐ:  x 4 Đặt a  x    x  a 0  a2   a 5   x  1   x    x  1   x   Thay vào phương trình cho ta được:  a  5( ktm) a2  a 5  a  2a  15 0    a 3(tm) a 3  Với  x 0(tm) x    x 3    x 3(tm) Vậy S  0;3 c) Gọi số cần tìm abcd  b, c, d 9;1 a 9  Ta có:   abcd  5445 ab  100.ab  cd  5445 ab  99.55  99ab cd  99 55  ab cd  55  ab 00  ab 55, cd 00  abcd 5500  Vì cd số có chữ số nên  55  ab 1  ab 54; cd 99  abcd 5499 Vậy số cần tìm 5500 5499 Câu n n n 2n  1 2n. 2n  1   1;2 ;2  a) Ta có ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2n ,3 1 2n  1  2n  1   Mà nên chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta có: x  y  z  x  y  10 z 100  x  y  z  12,5  x  y  z 12 Ta có : x  y  z  11 x, y, z dương nên x  y  z 12 (2) Ta có: x  y  10 z 100 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  x  y  z 12  x  y  z 12    8 x  y  10 z 100 96  y  z 100  x  y  z 12   y  z 4 Do x, y , z số nguyên dương nên z 1, y 2, x 9 (1) c) Ta có xy  1  x 1  y  1  x y    x    y   xy   x    y  1   x    y  1   x    y  0  x y  x   y  x y  xy  x y  x  y  x y  xy  2 2   x  y  y  x 0  x  y  y  x 0 Câu a) Ta có x 2y  1  x   y   y   x    x    y  1 x 1 y  x  xy  y  xy 1  y  x  xy  xy  y 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:  8 xy  xy   y  xy 2 y.2 xy 2 xy y 2 xy  x  y  Dấu " " xảy 1 MaxP   x  y  Vậy b) B số phương, nên 4B số phương 2 2 n  n  52  k  n   k  51   4B  k Đặt (k số tự nhiên)   2n   k   2n   k  1.  51 51.  1 17.  3  17.3 Vì n số tự nhiên nên 2n   k  2n   k ta có hệ phương trình: 2n   k 1 2n   k 3 (1) (2)   n   k  51 n   k  17   2n   k 51 2n   k 17 (3)  (4)  n   k  n   k    Giải hệ  1 ,   ,  3 ,   ta được: n  12; n  3; n 13; n 4 Do n số tự nhiên nên n   4;13 Câu D I M C A O B  a) OC tia phân giác AOM (tính chất tia phân giác)  OD tia phân giác MOB (tính chất tia phân giác)    Mà AOM MOB hai góc kề bù  OC  OD hay COD 90 IC ID  OI  CD b) Tam giác COD vuông O có (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Ta có: AC / / BD (cùng vng góc với AB) Suy tứ giác ABCD hình thang  OI đường trung bình hình thang  OI / / AC  OI  AB c) Xét tam giác COD vng O có OM  CD (CD tiếp tuyến) 2 Áp dụng hệ thức lượng ta có OM MC.MD hay MC.MD R C D giao tiếp tuyến nên CA CM , DB DM Suy CA.DB R d) Ta có : CA  DB CD Hình thang ABCD có độ dài cạnh AB khơng đổi Nên chu vi hình thang nhỏ CD nhỏ CD nhỏ CD  AB CD  AB CD / / AB CD / / AB OM  AB, OM  AB M điểm cung AB